Notas de aula sobre probabilidade em espaços poloneses. - IMPA

Exercício 4.3. Sejam p 1 , . . . , p n ∈ [0, 1] com ∑ ni=1 p i = 1 e a 1 , b 1 , . . . , a n , b n ∈ M. Construaas medidas:n∑µ = p i δ aieMostre queν =i=1n∑p i δ bi .i=1d(µ, ν) ≤ max1≤i≤n d(a i, b i ).Lema 4.4. Suponha que {µ n } n∈N ∪ {µ} ⊂ P(M). Então µ n ⇒ µ se e somente se d(µ n , µ) →0.Prova: “Se”: suponha que d P (µ n , µ) → 0. Mostraremos que para toda f : M → [0, 1]Lipschitz (com constante L > 0) e limitada, ∫ f dµ n → ∫ f dµ. Para tal, defina L f,t = {x ∈M : f(x) ≥ t}. Como L f,t é fechado, vemos que para todo n ∈ N e todo δ > d P (µ n , µ),Note agora que∫f dµ =∫ 10µ(L f,t ) dt ≤∫ 10µ n (L δ f,t) dt + δ.y ∈ L δ f,t ⇔ ∃x com f(x) ≥ t e d(x, y) < δ.A hipótese de que f é Lipshitz implica que, se d(x, y) < δ, f(y) ≥ f(x)−Lδ. Disto deduzimosqueL δ f,t ⊂ L f,t−Lδ .Portanto ∫ 1µ(L δ f,t) dt ≤ δ +0∫ 1Note que µ n (L f,t−Lδ ) = 1 se t ≤ Lδ, logo podemos cotaro que implica:∫ 10µ n (L f,t−Lδ ) dt ≤∫ 10∫ 1Fazendo δ ↘ d P (µ n , µ), vemos que∫ ∫f dµ ≤Lδ0µ n (L f,t−Lδ ) dt.µ n (L f,t−Lδ ) dt + Lδ ≤∫ 1∫µ n (L f,t ) dt = f dµ n + (1 + L)δ.f dµ n + (1 + L)d P (µ n , µ).0µ n (L f,s ) ds,Um raciocínio análogo nos mostra que, de fato,∫ ∫ ∣ ∣∣∣ ∣ f dµ − f dµ n ≤ (1 + L)d P (µ n , µ).19