Notas de aula sobre probabilidade em espaços poloneses. - IMPA

Usamos agora o lema de Fatou em conjunção com (4.2) para deduzir que:∑∑lim sup |p (t) (a) − p(a)| = lim sup limt→+∞a∈N n t→+∞ s→+∞ |p(t) (a) − p (s) (a)|a∈N n∑≤ lim sup lim inf |p (t) (a) − p (s) (a)|t→+∞ s→+∞a∈N n= 0Isto prova a segunda parte da afirmação.A primeira afirmação segue disto da seguinte forma: primeiro note que p(a) = 0 sempreque A(a) = 0, posto que neste caso p (t) (a) = 0 para todo t. Seja agora a ∈ N ∗ dado;provaremos que p(a) = ∑ ip(ai). Para isso note que para todo t ∈ N,p(a) − ∑ ip(ai) = (p(a) − p (t) (a)) − ∑ i(p(ai) − p (t) (ai)),já que p (t) (a) = ∑ i p(t) (ai). Agora tome t → +∞ e note que (p(a) − p (t) (a)) → 0 e ainda| ∑ (p(ai) − p (t) (ai))| ≤ ∑ |p(ai) − p (t) (ai)| ≤∑|p(b) − p (t) (b)| → 0iib∈N n+1pela segunda parte da afirmação. Concluímos que p(a) − ∑ ip(ai) = 0, como desejado. Paraterminar, basta provar a propriedade restante de funções peso consistentes (1 = ∑ ip(i)), masisto fica como exercício baseado na última conta acima. ✷4.2 Convergência fraca e convergência uniformeA definição de convergência fraca não garante em princípio que haja convergência uniformedas funções envolvidas. No entanto, veremos agora que o seguinte resultado vale.Proposição 4.3. Suponha que {µ n } n∈N ∪ {µ} ⊂ P(M) é dado. Então µ n ⇒ µ implica quepara todo L > 0{∣∫∫} ∣∣∣ sup f dµ n − f dµ∣ : f : M → [0, 1]L-Lipschitz → 0.Prova: Suponha que a Proposição não vale. Então existem δ > 0, {µ n } n∈N ∪{µ} com µ n ⇒ µe f n : M → [0, 1] L-Lipschitz com∫ ∫∀n ∈ N,∣ f n dµ n − f n dµ∣ > δ.{µ n } n∈N ∪ {µ} é relativamente compacto (exercício), logo (por Prohorov) justo. Tome,então, um compacto K ⊂⊂ M tal que µ(K) > 1 − δ/4. Veja que∫∫∫∣ f n dµ n − f n dµ∣ > δ − f n dµ − f n dµ n ≥ δ/2KK∫K c K cjá que 0 ≤ f n ≤ 1 e µ n (K c ) ≤ δ/4 para cada n.17