Notas de aula sobre probabilidade em espaços poloneses. - IMPA

Por indução, podemos construir conjuntos infinitos N ⊃ N 1 ⊃ N 2 ⊃ N 3 . . . tais que paracada j ∈ N, existe uma bola B j de raio 1/j tal que x n ∈ B j para todo n ∈ N j e, além disso,n j ≡ min N j < n j+1 . A subseqüência {x nj } j satisfaz n j → +∞ e x ni ∈ B j para todo i ≥ j,de modo que ∀i, i ′ ≥ j,d(x ni , x ni ′ ) ≤ maxx,y∈B jd(x, y) ≤ 2/j.Segue que {x nj } é Cauchy, como queríamos.“4 ⇒ 1”: Seja o A uma dada cobertura de K por abertos. Suponha, para chegar a umacontradição, que A não possui uma subcobertura finita.Escolha para cada x ∈ K um raio r x > 0 tal quer x = 1 2 sup{r > 0 : B(x, r x) ⊂ A x para algum aberto A x ∈ A}.Defina indutivamente uma seqüência {x n } n em K da seguinte forma: escolha x 1 ∈ K arbitrariamente.Escolhidos x 1 , . . . , x m , há necessariamente algum x m+1 ∈ K tal que d(x m+1 , x j ) ≥r xj para todo 1 ≤ j ≤ m, já que, em caso contrário, teríamosm⋃m⋃K ⊂ B(x i , r xi ) ⊂i=1e o lado esquerdo seria uma subcobertura finita de A. Logo podemos escolher este x m+1 ∈K\ ⊂ ⋃ mi=1 B(x i, r xi ) como o elemento seguinte da seqüência e prosseguir indefinidamente.Por 4, há uma subseqüência {x nj } de {x n } convergindo a algum x ∈ K. Podemos suporque os índices n 1 < n 2 são tais que:i=1A xid(x n1 , x), d(x, x n2 ) < r x /10 ⇒ d(x n1 , x n2 ) < r x /5.Mas note que se para todo y ∈ M e r > 0 com d(x, y) < r < 2r x ,Logo r y ≥ r x − d(x, y)/2. Segue queB(y, r − d(y, x)) ⊂ B(x, r) ⊂ A x para algum A x ∈ A.r xn1 ≥ r x − r x /20 = 19r x /20 > r x /5 > d(x n1 , x n2 ),o que contradiz o fato que d(x n1 , x n2 ) > r xn1 imposto na construção da seqüência {x n }. Istoimplica que A contém uma subcobertura finita. ✷Corolário 1.2. K ⊂ M é compacto se é fechado e para alguma seqüência ɛ jk j ∈ N tal que K pode ser coberto por k j bolas (abertas ou fechadas) de raio ɛ j .↘ 0 existeProva: Exercício.✷3