Notas de aula sobre probabilidade em espaços poloneses. - IMPA

Capítulo 1: Um curso relâmpago de análise em espaços métricospoloneses1.1 Espaços métricos polonesesUm espaço métrico é um par (M, d) onde M é um conjunto e d : M × M → [0, +∞)satisfaz:• ∀x, y ∈ M, “x ≠ y ⇒ d(x, y) > 0”e “x = y ⇒ d(x, y) = 0”;• ∀x, y ∈ M, d(y, x) = d(x, y);• ∀x, y, z ∈ M, d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).Uma seqüência {x n } n∈N ⊂ M é dita Cauchy se lim k→+∞ sup m,n≥k d(x n , x m ) = 0. Um espaçométrico é dito completo se toda seqüência de Cauchy tem um limite, isto é, algum x ∈ M talque d(x n , x) → 0 quando n → +∞.D ⊂ M é denso se sup x∈M inf a∈D d(x, a) = 0. Se existe D ⊂ M denso e enumerável,(M, d) é dito separável.Finalmente, (M, d) é um espaço polonês se é um espaço métrico separável e completo.A partir de agora (M, d) será sempre um espaço métrico polonês a não ser que o contrárioseja dito. B será a σ-álgebra de Borel sobre M, isto é, a σ-álgebra gerada pelos abertos (vera próxima seção). Além disso, D ⊂ M será um subconjunto denso e enumerável.1.2 Topologia: abertos e fechadosB(x, r) será a bola aberta de raio r > 0 ao redor de x ∈ M, isto é:A bola fechada será representada por B[x, r]:B(x, r) ≡ {y ∈ M : d(x, y) < r}.B[x, r] ≡ {y ∈ M : d(x, y) ≤ r}.Diremos que A ⊂ M é aberto se para todo x ∈ A existe um r > 0 tal que B(x, r) ⊂ A.Exercício 1.1. As seguintes condições são equivalentes.1. A é aberto;2. A é a união de bolas abertas;3. A é a união de bolas abertas da forma B(a, q), onde a ∈ A ∩ D e q > 0 é racional.Prove ainda que a união de abertos é aberta e que a interseção finita de abertos é aberta.F ⊂ M é dito fechado se F c ≡ M\F é aberto.1