Notas de aula sobre probabilidade em espaços poloneses. - IMPA

Capítulo 4: O teorema de Prohorov e a metrização da convergênciafraca4.1 A parte difícil do Teorema de ProhorovA construção da seção anterior será usada agora para provar o Teorema de Prohorov, doqual decorrerá a metrização da convergência fraca.Recorde o enunciado da Seção 2.4. Provaremos agora a direção ”se”daquele resultado, queé equivalente ao seguinte teorema.Teorema 4.1. Seja {µ (t) } t ⊂ P(M) uma seqüência justa de distribuições. Então ela contemuma subseqüência fracamente convergente a uma µ ∈ P(M).Prova: Os principais ingredientes da prova já foram apresentados. Falta agora juntá-los daforma adequada.Em primeiro lugar, sejam ɛ j ↘ 0 (j ∈ N). Construiremos para cada j uma partição comona Proposição 3.2:S j ≡ {S i,j : i ∈ N}.Para defini-la, considere uma enumeração D = {a i } i∈N de D ⊂ M denso e defina:S 1,j = B(a 1 , ɛ j /2),Note queS i,j = B(a i , ɛ j /2)\ ∪ k≤i−1 B(a k , ɛ j /2), i ≥ 2.(4.1) ∪ i≤m S i,j = ∪ i≤m B(a i , ɛ j /2)e quando m → +∞, a partição cobre todo o espaço.Cada S j é claramente uma partição boa nos termos da Seção 3.3. Além disso, se K ⊂⊂ Mé compacto, para cada j ∈ N {B(a i , ɛ j /2)} i∈N é uma cobertura de K (de fato, de M) porabertos, logo existe m(j, K) ∈ N comK ⊂ ∪ i≤m(j,K) B(a i , ɛ j /2) = ∪ i≤m(j,K) S i,j .Defina A(a) = ∩ n j=1 S a j,j, a = (a 1 , . . . , a n ) ∈ N ∗ a partir de {S j } j∈N como na Seção 3.3.A seguinte afirmação é um exercício.Exercício 4.1. Para cada n ∈ N e δ > 0 existe um m(δ, n) ∈ N tal que para toda µ (t) comoacima:∑a∈N n \[m(δ,n)] n µ (k) (A(a)) ≤ δ,com [m(δ, n)] = {1, 2, 3, . . . , m(δ, n)}. [Dica: tome K ⊂⊂ M tal que µ (k) (K) ≥ 1 − δ paratodo k ∈ N. Note então que {A(a) : a ∈ N n } é derivada de uma cobertura de K por abertos.]15