Notas de aula sobre probabilidade em espaços poloneses. - IMPA

Prova: Provaremos apenas a existência (a unicidade é exercício). Para tal, construiremos umespaço de probabilidade (Ω, F, P) e uma seqüência I n : Ω → N (n ∈ N) tal que∀a ∈ N ∗ , P ((I n ) n∈N ∈ Pref(a)) = P (∀1 ≤ i ≤ n, I i = a i ) = p(a 1 , . . . , a n ).Note que isto encerrará a prova, já que F = (I n ) n∈N será v.a. (isto é, mensurável com relaçãoà σ-álgebra produto em N N ) e η = P F será a distribuição desejada.Partimos de algum (Ω, F, P) onde se possa definir uma seqüência {U n } n de v.a.s iid comdistribuição uniforme sobre [0, 1). Por exemplo, tome Ω 0 = [0, 1), F 0 a σ-álgebra de Borelsobre [0, 1) e P 0 a medida de Lebesgue sobre (Ω 0 , F 0 ); construa (Ω, F, P) como o produto deum número enumerável de cópias de (Ω 0 , F 0 , P 0 ); e defina U n através de projeções nos fatoresdo produto cartesiano.Defina agora uma seqüência de índices {I n } n da seguinte forma indutiva: para n = 1,tomamos∑I 1 = j tal quep(i).i≤j−1p(i) ≤ U 1 < ∑ i≤jNote que, como ∑ i p(i) = 1, I 1 está bem definida e tem distribuição dada porP (I 1 = j) = p(j).Note ainda que p(I 1 ) > 0 sempre, pois I 1 = j implica que⎡⎞U 1 ∈ ⎣ ∑p(i) ⎠i≤j−1p(i), ∑ i≤jportanto o intervalo tem comprimento p(j) > 0. Finalmente, note que I 1 é função de U 1Suponha indutivamente que já definimos I 1 , . . . , I n , que sabemos queP (I 1 = j 1 , . . . , I n = j n ) = p(j 1 , . . . , j n ),que o vetor (I 1 , . . . , I n ) é função de U 1 , . . . , U n e ainda p(I 1 , . . . , I n ) > 0 sempre. Definimosagora I n+1 da seguinte forma:I n+1 = j n+1 tal que∑i≤j n+1−1A condição de consistência implica quep(I 1 , . . . , I n , i)p(I 1 , . . . , I n )∑p(i 1 , . . . , i n , i) = p(i 1 , . . . , i n ) ⇒ ∑ii≤ U n+1 0, o que é o caso na fórmula acima. Além disso, vê-se facilmentequeP (I n+1 = j n+1 | I 1 = j 1 , . . . , I n = j n ) = p(j 1, . . . , j n , j n+1 ),p(j 1 , . . . , j n )já que U n+1 é independente de U 1 , . . . , U n e portanto também de I 1 , . . . , I n . Note ainda quep(I 1 , . . . , I n , I n+1 )p(I 1 , . . . , I n )10> 0,= 1