Notas de Aula - Parte 2

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longo do tempo é muito grande. Em alguns casos é possível dividir o tempo de operação doprocesso e utilizar modelos lineares diferentes em cada um destes intervalos do tempo deoperação.3.1 LinearizaçãoLinearizar é expandir um função não-linear em uma série de Taylor em torno do estadoestacionário, ou ponto de operação, e desprezar todos os termos após as primeiras derivadas.Seja g(x) uma função genérica ela pode ser expressa como:dg( x) g( x) ≅ g( x s ) + | x= x ( x − xdx s s ) + termos de ordem superiorsendo o modelo linear:dg( x) g ( x) ≅ g( x l s ) + |dxx= x ( x − x s s)Por exemplo para:g( x) = x3%Gera 100 pontos entre 0 e 10x=linspace(0,10,100) ;g=x.^3;%Plota uma curva de coordenadas x e gplot(x,g)holdxlabel ('x')ylabel ('g')uma aproximação linear na vizinhança do ponto x 0= 6 sera:( )g ( x) = x 3 + 3 x 2 x − xl x 0 x0gl=216+3*6^2*(x-6);plot(x,gl,'b')0
hold offobserva-se que o modelo linear só é uma aproximação razoavel do modelo não linear navizinhança do ponto x 0= 6.A propriedade mais importante dos sistemas lineares é que é possível aplicar o princípio desuperposição. O princípio da superposição estabelece que a resposta de um sistema (saída) àaplicação simultânea (soma) de duas perturbações (entradas) é igual à soma das respostas dosistema às duas perturbações introduzidas separadamente. Desta forma, é possível calcular aresposta de um sistema a um conjunto de perturbações somadas tratando uma perturbação porvez e somando as respectivas saídas. Experimentalmente, se for observado que causas e efeitossão proporcionais, o que garante que o princípio de superposição é válido, o sistema pode serconsiderado linear.Vamos utilizar como exemplo o modelo do tanque de nível do capitulo 2:dhdtFi= −Acuja solução é:hRA( 1 )h = RF − e− t RAiclaramente pode ser observado que para dois valores diferentes de vazão de entrada obtemosduas respostas h e se somamos as entradas a resposta do sistema será a soma das saídasindividuais:( 1− t RA)( 1− t RA)h = RF − e1 i1h = RF − e2 i2F = F + Fi i1 i2−t −t −t − t( 1 RA) ( )( 1 RA) ( 1 RA) ( 1 RA)h = RF − e = R F + F − e = RF − e + RF − e = h + hi i1 i2 i1 i2 1 23.1.1 Linearização de Modelo Não-Linear: Tanque de Nível
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