Notas de Aula - Parte 2

3. SISTEMAS LINEARESUm sistema é dito linear quando as equações diferenciais que compõem o modelo são todaslineares. Desta forma, não existem produtos de variáveis, variáveis com fatores exponenciais, etc.Os coeficientes associados podem ser constantes ou variantes (funções do tempo).Exemplo de Sistema Linear Invariante no Tempo:2d y dya + a + a y = a u ( t)+ u a ( t)1 2 2 dt 3 1 1 2 2dtu 1 (t)u 2 t)Processoy(t)Exemplo de Sistema Linear Variante no Tempo:2d y dya ( t)+ a ( t)+ a ( t)y = b ( t)u ( t)+ b ( t)u ( t)1 2 2 dt 3 1 1 2 2dtExemplo de Sistema Não-Linear:dC ( ) ( )At Fit( )C ( t) C ( t ) k e E RT t= ( C ( t)A i−A) −− /, 0Adt VPara os sistemas lineares, e em particular sistemas lineares invariantes no tempo, existem métodosde solução das equações diferenciais que podem ser utilizados de forma geral, isto é, há soluçãopara modelos de qualquer complexidade (número e ordem das EDO's). A partir destacaracterística dos sistemas lineares foi possível desenvolver técnicas universais para análise docomportamento dinâmico e projeto de controladores. Até pouco tempo, estas técnicas eramquase exclusivamente as únicas ferramentas de análise e projeto. Com o aumento da capacidadede cálculo dos computadores atuais, é possível analisar sistemas não lineares cada vez maiscomplexos. Em contrapartida, não existe um método geral que possa ser utilizado para analisarsistemas não lineares. Por esta razão, e para iniciar o estudo de sistemas dinâmicos, neste cursosão apresentadas as técnicas de análise de sistemas lineares como uma ferramenta de uso geralque pode ser utilizada em um grande número de casos práticos. As técnicas de projeto desistemas de controle são objeto do curso de Controle e Instrumentação de Processos.Quando o modelo resulta em equações não-lineares, e para poder utilizar as técnicas de analisede sistemas lineares, recorre-se, freqüentemente, à técnica de linearização em torno do ponto deoperação. Esta técnica está baseada na suposição de que o processo se comporta como umsistema linear na vizinhança de um determinado ponto (conjunto de valores para as variáveis doprocesso), chamado de ponto de operação. Este tipo de aproximação é valida, em geral, paraprocessos. Quando os processos são em batelada, como por exemplo na produção de algunspolimeros, não é possível determinar um ponto de operação já que a excursão das variáveis ao

longo do tempo é muito grande. Em alguns casos é possível dividir o tempo de operação doprocesso e utilizar modelos lineares diferentes em cada um destes intervalos do tempo deoperação.3.1 LinearizaçãoLinearizar é expandir um função não-linear em uma série de Taylor em torno do estadoestacionário, ou ponto de operação, e desprezar todos os termos após as primeiras derivadas.Seja g(x) uma função genérica ela pode ser expressa como:dg( x) g( x) ≅ g( x s ) + | x= x ( x − xdx s s ) + termos de ordem superiorsendo o modelo linear:dg( x) g ( x) ≅ g( x l s ) + |dxx= x ( x − x s s)Por exemplo para:g( x) = x3%Gera 100 pontos entre 0 e 10x=linspace(0,10,100) ;g=x.^3;%Plota uma curva de coordenadas x e gplot(x,g)holdxlabel ('x')ylabel ('g')uma aproximação linear na vizinhança do ponto x 0= 6 sera:( )g ( x) = x 3 + 3 x 2 x − xl x 0 x0gl=216+3*6^2*(x-6);plot(x,gl,'b')0

hold offobserva-se que o modelo linear só é uma aproximação razoavel do modelo não linear navizinhança do ponto x 0= 6.A propriedade mais importante dos sistemas lineares é que é possível aplicar o princípio desuperposição. O princípio da superposição estabelece que a resposta de um sistema (saída) àaplicação simultânea (soma) de duas perturbações (entradas) é igual à soma das respostas dosistema às duas perturbações introduzidas separadamente. Desta forma, é possível calcular aresposta de um sistema a um conjunto de perturbações somadas tratando uma perturbação porvez e somando as respectivas saídas. Experimentalmente, se for observado que causas e efeitossão proporcionais, o que garante que o princípio de superposição é válido, o sistema pode serconsiderado linear.Vamos utilizar como exemplo o modelo do tanque de nível do capitulo 2:dhdtFi= −Acuja solução é:hRA( 1 )h = RF − e− t RAiclaramente pode ser observado que para dois valores diferentes de vazão de entrada obtemosduas respostas h e se somamos as entradas a resposta do sistema será a soma das saídasindividuais:( 1− t RA)( 1− t RA)h = RF − e1 i1h = RF − e2 i2F = F + Fi i1 i2−t −t −t − t( 1 RA) ( )( 1 RA) ( 1 RA) ( 1 RA)h = RF − e = R F + F − e = RF − e + RF − e = h + hi i1 i2 i1 i2 1 23.1.1 Linearização de Modelo Não-Linear: Tanque de Nível

Um tanque de nível tem vazão de retirada dada pela relação: F = k hF ihFConsiderando-se densidade e temperatura constantes, tem-se:Balanço de Massa:dV= A dh = Fdt dt i − F ∴ A dh + k h = Fdt iuma equação não-linear.A linearização de F(h) em torno de uma altura h sfornece:kF( h) ≅ F( h s) + ( h − hh s)2 sque é uma equação linear. Substituindo a expansão no modelo acima temos:A d hdt( )k+ h − h = F2 h s isassim obtendo um modelo linear que é válido na vizinhança de h s.% Simulação de tanque de nível, comparando saída de% modelo não-linear (hnl) com saída de% modelo linearizado (hl)clear allglobal k A Fi const hs%condições iniciaisx0=[0.9 0.9]'; %altura inicial para os 2 modeloshl=[];hnl=[];Fi=1;%parâmetros dos modelosA=10; %área transversal do tanquehs=1; %altura no estado estacionáriok=1; %constante para cálculo de Fconst=k/(2*sqrt(hs));%integraçãotin=0;deltat=0.5;for i=1:30if i>=15

Fi=1.2; %perturbação de 20% em Fiendtfin=tin+deltat;[t,x]=ode23('dalt',tin,tfin,x0);n=length(t); %comprimento do vetor tempox0=[x(n,1) x(n,2)]';tin=tfin;tempo(i)=t(n);hl(i)=x0(1);hnl(i)=x0(2);endplot(tempo,hl,'*g')hold onplot(tempo,hnl,'r')text(2,1.7,'* modelo linear')text(2,1.6,'- modelo não-linear')xlabel('tempo')ylabel('altura')hold offfunction dh=dalt(t,x)global k A Fi const hsdhnl=(Fi-k*sqrt(x(2)))/A;dhl=(Fi-const*(x(1)-hs))/A;dh=[dhl dhnl]';Exemplo Adicional:Modelo de um fornoDado:(1)(2)

Substituindo (1) em (2):Aplicando TaylorDaí temos:Balanço Dinâmico:(I)Balanço Estacionário:(II)Subtraindo (I) de (II), temos o modelo do processo:

Exemplo Adicional 3.2Reator Encamisado: F constante, V constanteReação obedece cinética de 1º ordemBalanço de massa para componente A:Os termos FC Ao , FC A e Vk o e -E/RT são não-linearesAplicando Taylor:

Balanço Dinâmico:Balanço Estacionário:Subtraindo:Balanço de Energia para o Reator:Linearizando:

Substituindo, temos:Balanço Energético para a Camisa:Após as linearizações necessárias, temos o modelo linear do processo:Obs.: As variáveis com “^” são variáveis desvio, ou seja, variáveis cujo valor ésubtraído do estado estacionário.Por exemplo,

TRANSFORMADA DE LAPLACEA transformada de Laplace é utilizada para resolução de equações diferenciais ordinárias(EDO) lineares ou linearizadas. O sistema originalmente descrito no espaço t transformaseem equação algébrica no espaço s, um número complexo.O método apresenta 3 etapas:1) Transformação da EDO (linear) em equação algébrica;2) Resolução da Equação Algébrica resultante em termos da variável independente s3) Aplicação da transformada inversa para obter a resolução da EDO.Por definição, para t>0:Exemplos:−stL( f ( t))= F(s)= ∫ f ( t)e dt∞01)2)f ( t)= cos( wt)L(f ( t))= F(s)= ∫ cos( wt)e∞0−stIdent.Euler :wti −wtie + ecos( wt)=2∞1 wti −wti−st1F(s)= ∫ ( e + e ) e dt =2 02−(s−wti)−(s+wti)∞1 ⎡ e e ⎤ 1 ⎡F(s)= ⎢−− ⎥ =2 s iw s iw 2 ⎢⎣ − + ⎦ ⎣ sdt0∞−(s−wti)∫ ( e +022se+ w2−(s+wti)⎤⎥ =⎦ s) dt2s+ w2f ( t)= 1L(f ( t))= F(s)= ∫ cos( wt)e∞F(s)= ∫ (1) e0−st−edt =sstt=∞1=sA Transformada de Laplace desfruta da propriedade de linearidade, ou seja:∞0t=0−stdt{ af t ) + bf ( t)} = aF ( s)bF ( )L +1( 112s

Transformada de derivada:Transformada de Integral:)((0))()()()()'()'()())'((000ssFfdtetfsetfsFtfvdtseduvduuvudvtfveudtetfsFtfLststststst+−=∫+==−=∫∫−===∫==∞−∞−−−∞−[ ] ⎥ ⎦ ⎤⎢⎣⎡+−=−−=−==∫==∞−(0)(0))((0)(0))()((0))}({)}'({)()''()())''((20dtdfsfsFsdtdffssFssFdtdftfdtdsLtfdtdLsFdtetfsFtfLst110210...(0))()()''()())((−−=−−∞−++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−=∫==nntnnnstndtfddtdfsfssFssFdtetfsFtfL)(')'('')()('0'000tfdvsedudttfveudttfedttfLsttsttst== −∫==∫∫=⎭⎬⎫⎩⎨⎧ ∫−−∞−∞

Exemplo 1)Exemplo 2)Transformada de Laplace de Funções Básicas:a) DegraussFdttfsdttfLdttfsedttfsedttfLttsttst)('')(1)()('')()(0'0000'00+⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ∫=⎭⎬⎫⎩⎨⎧ ∫∫−⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ∫−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧ ∫ =∞∞−∞−∞0)(1)2(0)()(2)()()}({(0))()(](0)(0)[)()(0'(0)(0),(0)0,)()(2)(2222222=++∴=++=−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧===++sYsssYssYsYssYtyLyssFdttdyLdtdysysFsdttydLyytydttdydttyd2120112120121220)()()()()()()()()(asasabsUsYsb UsYasasatb utyadttdyadttyda++==++=++skdtekdtetuktuLktfLttttktkutfstst=∫=∫==⎩⎨⎧≤>==∞−∞−001.)())}(({)}({(0)0,(0)1,)()(f(t)t=0

) Rampac) Seno20201)}({/))}(({)}({(0)0,(0),)()(sksstketfLsedvdtdutudttektuLktfLttttktktkutfststst=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−====∫==⎩⎨⎧≤>==∞−−∞−kf(t)t=02200)(21)(2)sen(:.)sen()())(()sen()(wswdteeesFeewtEulerIdentdtewtsFtfLwttfstwtiwtiwtiwtist+=∫ +=+=∫===∞−−−∞−

d) Exponencialf ( t)= e−at∞−at−st1L(f ( t))= F(s)= ∫ e e dt =0 ( s + a)Teoremasa) Teorema do deslocamento em tf(t)g(t)t-t 0⎧ f ( t − t0), t ≥ tg(t)= ⎨⎩0,t < t0L{f ( t − tb) Teorema do deslocamento em s0∞)} = ∫ f ( t − t000) edt = e−st −st0F(s)L{ec) Teorema do Valor Finald) Teorema do Valor Inicialat∞f ( t)}= ∫e0atf ( t)e−st∞dt = ∫ elim f ( t)lim0sF(s)t→ ∞=s→0atf ( t)e−(s −a)tdt = F(s − a)lim 0f ( t)lim sF(s)t→ =s→∞Exemplos:

Função PulsoFunção ImpulsoÉ o limite do pulso quando t0 tende a zero:04)2,5)((5lim)(lim)(54)2,5)((5lim)(lim(0)4)2,5)((5)(00=−−==∞=−−==−−=→∞→→→∞sstffsstffsssFststf(t)0 t0h)(1)()()}({)(,0,,000,)(000000ststestkeshshtthuthutfLáreahtkttttthttf−−−=−=−−===⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤≤=

Inversão de Transformada de LaplacePara obter-se a resolução da EDO, é preciso transformar o resultado da equação algébrica(em s) para t. Para tal, utiliza-se a EXPANSÃO HEAVISIDE ou EXPANSÃO EMFRAÇÕES PARCIAIS.Q( s)Seja, F( s)= , onde a ordem de Q(s) e P(s) são, respectivamente M e N (M≤ N), aP( s)inversão é feita em três etapas:1. Fatora-se P(s) em termos das suas raízes (polos de F(s)), e reescreve-se F(s) como:Q( s)A B WF( s)= = + + ... +P( s) ( s − p ) ( s − p ) ( s − p )1 2N2. As constantes A, B ... W são calculadas:A = lim s→p ( F ( s ).( s − p ))1 1B = lim s→ p ( F( s).( s − p ))2 2...W = lim s→p ( F( s).( s − pN N))3. Pelo uso da Tabela, encontrar a transformada inversa termo a termo.ABWf ( t) = L − 1{ } + L − 1{ } + ... + L − 1 { }( s − p1 ) ( s − p2 ) ( s − p N )

4. REPRESENTAÇÃO DE ENTRADA E SAIDA4.1 IntroduçãoExistem diversas formas de representar um processo através de um modelo matemático. Umaforma muito utilizada é a representação de entrada e saída. Como exemplo de um modelo deentrada e saída pode-se utilizar o modelo do CSTR e considerar que a entrada do processo é F ie a saída T. Desta forma, um modelo de entrada-saída terá como variável indepentdente F iecomo variável dependente T. Obviamente há outras variáveis muito importantes que não sãoconsideradas variáveis de saída como V e C a.Em geral é possível descrever um sistema linear como:( n) ( n−1) ( m) ( m−1) a y a y a y a y b u b u b u b u ( n m)0+1+ L+ &n−1 +n=0+1+ L+ &m−1+m; ≥onde y e u são funções do tempo e f k é a derivada de ordem k de f.e uma forma de representação muito utilizada é a de "função de transferência".A função de transferência de um sistema linear invariante no tempo está definida como atransformada de Laplace da saída (resposta do sistema) sobre a transformada de Laplace daentrada (exitação ou perturbação no sistema), supondo todas as condições iniciais iguais a zero.Sendo necessário que todas as condições iniciais sejam iguais a zero (para qualquer processo), esabendo que as variáveis de um processo em geral não têm condições iniciais iguais a zero, devesedefinir um novo conjunto de variáveis chamadas "variáveis desvio" que cumpram as condiçõesrequeridas.A "variável desvio" é definida como o afastamento da variável do seu valor no estado estacionárioou valor de referência. Ou seja:x ( t) = x( t)− x desvio sondexs = valor no estado estacionárioNa continuação do texto, dado que as funções de transferência que serão utilizadas estãodefinidas para variáveis desvio, fica entendido que todas as variáveis são variáveis desvio.

Esta transformação de variável é representada graficamente na seguinte figura.t=linspace(.1,20,100);x=sin(t)./t +1.2;plot(t,x,'b')holdtext(8,1.4,'x(t)')x=sin(t)./t ;plot(t,x,'g')text(8,.2,'x-desvio(t)')x=1.2*ones(size(t));plot(t,x,'r')text(1.5,1.3,'xs')x=zeros(size(t));plot(t,x)hold off2.521.51xsx(t)0.50x-desvio(t)-0.50 5 10 15 20A determinação de variáveis desvio permite definir condições iniciais iguais a zero para resoluçãodas equações diferenciais ordinárias (EDO's) do modelo.4.2 Resolução de Sistemas LinearesResolver um modelo significa encontrar as variáveis de saída como função do tempo em respostaa alguma mudança nas variáveis de entrada. Para isto, recorre-se à solução analítica ou integraçãonumérica do conjunto de equações que representam o processo.

Uma ferramenta muito útil na resolução destes sistemas é a Transformada de Laplace, já que épossível transformar uma equação diferencial no domínio do tempo em uma equação algébrica nodominio de Laplace. A solução de uma equação algébrica é muito mais simples que o de umaequação diferencial e, se a equação diferencial for linear invariante no tempo, a transformação dasolução do domínio de Laplace para o domínio do tempo será simples. Para mais detalhes sobrea transformada de Laplace vide anexo I.A função de transferência do modelo acima descrito pela EDO é obtida transformando , emprimeiro lugar, a EDO para o dominio de Laplace:nn−1mm−1a0 y( s) s + a1y( s) s + L+ an−1y( s) s + any( s) = b0u( s) s + b1u( s) s + L+ bm−1u( s) s + bmu( s)( n ≥ m)a seguir, extrai-se o fator comum y(s) e u(s) obtendo:n n−1m m−1( + + L+ + ) = ( + + L+ + )a s a s a s a y( s) b s b s b s b u( s)0 1n−1 n0 1ou colocado em forma de função de transferencia:m−1m( n ≥ m)m m−1y( s)b s b s bms bn nu( s) = 0 + 1 + L+ −1+−1a s + a s + L + a s + a0 1n−1mn( n ≥ m)Este tipo de representação é muito útil pois permite tratar sistemas complexos a partir de blocossimples com operações de soma e multiplicação. Para exemplificar suponhamos que um processoé descrito por duas equações diferenciais:( n) ( n−1) ( m) ( m−1) a y + a y + L+ a y& + a y = b u + b u + L+ b u& + b u ; ( n ≥ m)0 1l0 1n−1 n 0 1pp−1l−1 l 0 1c u c u c u c u d x d x d x d x l p( ) ( l−1) ( ) ( )+ + L+ & + = + + L+ & + ; ( ≥ )para obter a solução y (saída) como função do tempo para uma determinada função deperturbação x, é necessário resolver a segunda equação e, conhecendo a função u, resolver aprimeira.Usando o conceito de função de transferência, obtem-se:p−1m−1pmm m−1Y( s)b s b s bms bn nU ( s) = 0 + 1 + L+ −1+−1a s + a s + L + a s + a0 1n−1mn= G1( n ≥ m)

p p−1U ( s)d s d s d p s dl lX ( s) = 0 + 1 + L+ −1+−1c s + c s + L + c s + c0 1l−1lp= G2( l ≥ p)Obviamente, não é necessário, neste caso, calcular x pois pode-se operar a equação algebricaobtendo:m m−1Y( s)b s b s bms bn nX ( s) = 0+1+ L+ −1+−1a s + a s + L+ a s + a0 1n−1mnp p−1d s + d s + L+ d s + d0 1l l−1c s + c s + L+ c s + c0 1( l ≥ p)( n ≥ m)p−1l−1lpA solução no dominio de Laplace consiste agora em, uma vez determinada a função deperturbação x, calcular a transformada inversa de Laplace de:m m−1p p−1b s + b s + + b s b d s d s d s dm+ + + +mp+0 1L−10 1L−1pY( s) =n n−1l l−1X ( s)a s + a s + L+ a s + a c s + c s + L+ c s + c0 1-1Ou seja y( t)= L ( Y ( s))n−1n0 1( l ≥ p)( n ≥ m)Cada função de transferência pode ser representada graficamente por um bloco (que substitui oquociente de polinômios), uma entrada (representado à variável independente) e uma saída(representando à variavel dependente). Sistemas complexos podem ser representadosgraficamente através de blocos ligados entre si, por exemplo, no sistema acima teríamos doisblocos com a saída do segundo coincidindo com a entrada do primeiro.l−1lA seguir são apresentados alguns esquemas de diagramas de blocos e se descrevem as regrasbásicas de operações com blocos.4.2.1 Diagrama de blocos

Considere um processo cujo comportamento dinâmico é descrito por uma equação diferencialordinária (EDO) de ordem n, linear ou linearizada. O uso de Transformada de Laplace, comvariáveis desvio (condições iniciais zero), permite a representação da relação entre as entradas(perturbações e estímulos) e saídas (variáveis controladas) através de Diagramas de Bloco.Esta abordagem permite fornecer as condições de saída quando conhecidas as condições deentrada. Para um processo de uma entrada e uma saída o diagrama de blocos é:comY( s) = G( s) U ( s)ouY( s)U( s)= G( s)onde G(s) é a função de transferência que relaciona a saída Y(s) à entrada U(s).Para um processo como o descrito no item 4.2, onde são definidas duas funções de transferência,tem-se:Y( s)U( s)U( s)= G1( s);= G2( s)X( s)cujo diagrama de blocos corresponde a:

ou, operando temos:y( s)u( s)u( s)x( s)y( s)= g1( s) g2( s)= =x( s)g( s)cujo diagrama de blocos corresponde a:O que permite definir a primeira operação em diagrama de blocos, dois blocos em serie podemser substituídos por um único bloco e a função de transferência que este representa será oproduto das duas funções de transferência dos blocos individuais.Para um sistema representado por:Y( s) = Y1( s) + Y2( s) = G1( s) * U ( s) + G2( s) * U( s)temos o seguinte diagrama de blocos:onde podemos observar dois novos elementos, o ponto de bifurcação

e o ponto de somaUm diagrama de blocos muito utilizado em controle é o que representa um sistema realimentado:A redução deste diagrama a um bloco único esta dado por:Y( s) = G( s) X ( s)X ( s) = U( s) − H( s) Y( s)( 1)( )Y( s) = G( s) U( s) − H( s) Y( s)Y( s) = G( s) U( s) − g( s) H( s) Y( s)Y( s) + G( s) H( s) Y( s) = G( s) U( s)+ G( s) H( s) Y( s) = G( s) U( s)Y( s)G( s)=U( s)1 + G( s) H( s)

Com estes exemplos é possível observar que qualquer diagrama de blocos pode ser reduzido aum único bloco. A antitransformada de um sistema descrito por um único diagrama de blocos foiapresentada anteriormente, e desta forma vemos que a resolução de um sistema dinâmico de umaentrada e uma saída, independente da sua complexidade inicial, pode ser transformado em umproblema representado por um único bloco e resolvido sempre da mesma forma.Para fins de análise do sistema dinâmico e controle, a função de transferência pode serinterpretada como um ganho entre o sinal de saída e o de entrada.Este ganho apresenta uma parte estática (ganho estático) e uma parte dinâmica (ganho dinâmico).O ganho estático é o valor do ganho quando o tempo tende a infinito (que pode ser obtidoaplicando o teorema do valor final à função de transferência). O ganho dinâmico é a parte dafunção de transferência dependente da variável de Laplace s, definido pelas transformadas dasequações diferenciais que descrevem o processo.Como já foi exposto, um modelo de um processo obtido no domínio do tempo (t) pode serrepresentado no domínio complexo (s) como um modelo de Entrada-Saída (Input-Output), e oprocedimento para desenvolver este modelo é representado de forma esquemática a seguir:

HipótesesSimplificadorasModelo Dinâmico do ProcessoEDO e Equações AlgébricasLeisFundamentaisObter Modelo Estacionário(zerando derivadas temporais)Linearizar Termos Não-LinearesSubtrair Equação Estacionáriada Equação DinâmicaDefinir Variáveis DesvioAplicar Transformada deLaplace (Condições Iniciais 0)Repetir para todas asSaídasEliminar Todas as Saídas Excetoa de InteresseEliminar Todas as Entradas Excetoa de InteresseDividir Saída por EntradaFunçõesdeTransferênciaRepetir para todas asEntradas

4.2.2 Desenvolvimento de um Modelo Entrada-Saída: 2 CSTR em SérieConsiderando um sistema de dois reatores CSTR em série como os da figura abaixo:FC0(t)αFV 1V 2C 1 C (t)1C 2F(1+ α )FC2(t)onde ocorre uma reação A→B. Fazendo-se as seguintes suposições:1) A reação que ocorre em ambos reatores é de 1ª ordem, irreversível, conduzidaisotermicamente (A reagindo para B).2) Os volumes de liquido nos dois reatores podem ser considerados constantes.e considerando que a constante de reação é k, a vazão volumétrica é F e a concentração molar éC o modelo do processo pode ser obtido a partir de:Balanço de massa por componente para o reator 1:V dC 1dt1= FC ( t) + αFC ( t) − ( 1 + α ) FC ( t) − kC ( t)V0 2 1 1 1Balanço de massa por componente para o reator 2:V dC 2dt2= ( 1+ α ) F( C ( t) − C ( t)) − kC ( t)V1 2 2 2Se defininmos:ττ12V1F=K1=( 1+ α ) F + KV( 1+ α ) F + KV1V2F=K2=( 1 + α ) F + KV( 1 + α ) F + KV212

as duas equações que representam o processo serão:ττ12dC1( t)+ C1 ( t) = K1C 0( t) + αK1C2( t)dtdC2( t)+ C2 ( t) = K2C1( t)dtPara serem consistentes com o modelo, as condições iniciais devem cumprir as seguintesrelações:C ( 0) = K C ( 0) + αK C ( 0)C1 1 0 1 2( 0) = K C ( 0)2 2 1que são obtidas considerando que o processo está em repouso no instante t=0.Como as condições iniciais não são zero, devem-se transformar as variáveis originais paravariáveis desvio. Assumindo que:C ( t) = C ( t) + C ( 0)0 0desvio0C ( t) = C ( t) + C ( 0)1 1desvio1C ( t) = C ( t) + C ( 0)2 2desvio2o modelo fica:ττ12⎛⎝d⎜C ( t) + C ( 0)⎛⎝1desiío1dtd⎜C ( t) + C ( 0)2desvio2dt⎞⎟⎠⎛⎝⎞ ⎛⎞ ⎛1desvio 1 ⎠ 1⎝0desvio 0 ⎠ 1⎝2desvio2+ ⎜C ( t) + C ( 0) ⎟ = K ⎜C ( t) + C ( 0) ⎟ + αK ⎜C ( t) + C ( 0)⎞⎟⎠⎛⎝⎞ ⎛⎟ ⎜2desvio2 ⎠ 2⎝1desvio1+ ⎜C ( t) + C ( 0) = K C ( t) + C ( 0)Dado que os valores iniciais são constantes os termos que contêm derivadas ficam em função dasvariáveis desvío. Para os outros termos, utilizando as relações entre as condições iniciais, podemseescrever o modelo como:ττ12dCdtdC1desvio2desviodt( t)+ C ( t) = K C ( t) + αK C ( t)1desvio 1 0desvio 1 2desvio( t)+ C ( t) = K C ( t)2desvio2 1desvio⎞⎟⎠⎞⎟⎠

e, para simplificar a notação, retira-se a palavra desvio, ficando o modelo:ττ12dC1( t)+ C1 ( t) = K1C 0( t) + αK1C2( t)dtdC2( t)+ C2 ( t) = K2C1( t)dtsendo agora, as suas variáveis, variáveis desvio.Aplicando a transformada de Laplace ao modelo anterior tem-se:K1αK1C1( s)= C0( s)+ C( τ1s+1)( τ1s+ 1)K2C2(s) = C s(1( )τ s + 1)2E a representação em diagrama de blocos é:2( s)^C 0(s)1º CSTRK 1^C (s) 2τ 1s+1α K 1τ 1s+1++^C 1(s)2º CSTRK 2τ 2s+1^C (s) 2Manipulando-se algebricamente (os blocos ou as equações), obtém-se:C2( s)=K1K2s s K K C s 0( )( τ + 1)( τ + 1)−α1 2 1 2

e a função de transferência global será:C2( s)K1K2G( s)= =C ( s) ( τ s + 1)( τ s + 1)−αKK01 2 1 2Para resolver o problema, tem-se dois caminhos. O primeiro é calcular a antitransformada deLaplace do modelo acima para uma perturbação da concentração do componente A na correntede entrada. Dado que o método de solução é analítico, obtém-se uma expresão matemáticaexplícita que relaciona a variável de interesse (concentração de A no segundo reator) com otempo. A segunda forma, atualmente muito utilizada, é resolver numericamente as equaçõesdiferenciais que representam o processo, e para tal é necessário o uso de computadores. Ométodo analítico é importante quando se deseja, por exemplo, analisar características do sistema,como estabilidade em diferentes condições de operação, ou projetar controladores para oprocesso.Uma solução numérica para o modelo é:clear allglobal alfa k tau c0alfa=[.2 1];k=[1 2];tau=[.1 .2];c0=[1 0];ci=[.1 .1];ti=0;tf=10;[t c]=ode45('cstr2s',ti,tf,ci);plot(t,c)3.532.521.510.500 2 4 6 8 10

A função cstr2s.m utilizada no exemplo acima é:function [dc]=cstr2s(t,c)global alfa k tau c0% Esta função contém o modelo matematico de um% processo que consta de dois reatores em serie% nos quais se produz uma reação de primeira ordem.%% Este arquivo forma parte do texto do curso de% modelagem e simulação de processos.%% Autores: Ofélia Araújo e Nestor Roqueiro.% Última revisão:03/03/96%% Para mais detalhes vide texto.%% As variáveis utilizadas são:%% c vetor de concentrações de A nos reatores.% dc vetor da derivadas das concentrações de A nos reatores .% c0(1) concentração de A na vazão de entrada.% k vetor de constantes proporcionais.% tau vetor de constantes de tempo.% alfa retorno da vazão de saída.dc=(k.*c0-c+alfa.*k.*fliplr(c))./tau;

. Álgebra de BlocosA representação por diagramas de blocos pode assumir formas equivalentes de acordo comsimplificações algébricas. Neste sentido, definimos como "álgebra de blocos" a manipulaçãoalgébrica das informações contidas no diagramade blocos.ADIÇÃO: Y( s) = G1( s) X1( s) + G2( s) X2( s)G (s)1X (s)1X (s)1X (s)2G (s)2Y(s)X (s)2G (s)1G (s)2++Y(s)TRANSMISSÃO:Y ( s) = G ( s) X ( s)1 1Y2( s) = G2( s) X ( s)X (s)G (s)1G (s)2Y (s)1Y (s)2X(s)G (s)1G (s)2Y (s)1Y (s)2MULTIPLICAÇÃO:

X4( s) = G3( s) X3( s) = G3( s) G2( s) X2( s) = G3( s) G2( s) G1( s) X1( s)X (s)1G (s)1X (s)2G (s)2X (s)3G (s)3X (s)4X (s)3G (s)1G2(s) G3(s)X (s)4X1(s)G (s)1X (s)2G (s)2X (s)3G (s)3X (s)X1(s)4 G (s)1G (s) G (s)2 3X (s)4PONTO DE SOMA:++-A saída é a soma algébrica das entradas.PONTO DE RAMIFICAÇÃO:X(S)X(S)X(S)PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO: A resposta total é a soma algébrica das várias entradas"operadas", propriedade de sistemas lineares.