Uma Introducao Sucinta aa Teoria dos Grafos - Rede Linux IME-USP

12 CAP. 1 CONCEITOS BÁSICOSExemplo 1.15 Duas arestas de um grafo G são adjacentes se têm uma ponta comum.Essa relação de adjacência define o grafo das arestas de G. 5 Se G ′ denota ografo das arestas de G então V (G ′ ) = A(G) e cada aresta de G ′ é um par ab em quea e b são arestas adjacentes de G. (Veja a figura 1.5).Faça uma figura do grafo das arestas de um K 3 e de um K 1,3 (veja exemplo 1.10).Faça uma figura do grafo das arestas de um K 4 . Quantos vértices e quantas arestastem o grafo das arestas de um K n ?Seja G o grafo das arestas de um K 5 . Desenhe G. Você já viu esse grafo nestetexto?vu ✏ ✏✏ tx✏ ✏ w ✏✏✏ y✏ ✏ zvuvwux❍ xy ❍✟ wx✟ yzFigura 1.5: Um grafo (esquerda) e seu grafo das arestas (direita).1.3 IsomorfismoUm isomorfimo entre dois grafos G e H é uma bijeção f de V (G) em V (H) tal quedois vértices v e w são adjacentes em G se e somente se f(v) e f(w) são adjacentesem H .Dois grafos G e H são isomorfos se existe um isomorfismo entre eles. Em outraspalavras, dois grafos são isomorfos se é possivel alterar os nomes dos vértices de umdeles de tal modo que os dois grafos fiquem iguais.Para decidir se dois grafos G e H são isomorfos, basta examinar todas as bijeçõesde V (G) em V (H). Se cada um dos grafos tem n vértices, esse algoritmoconsome tempo proporcional a n!. Como n! cresce explosivamente com n, esse algoritmoé decididamente insatisfatório na prática. Infelizmente, não se conhece umalgoritmo substancialmente melhor. 6ExercíciosE 1.16 Os dois grafos da figura 1.6 são isomorfos? Quais dos grafos da figura 1.7são isomorfos entre si?E 1.17 Mostre que o grafo das arestas (veja exemplo 1.15) de um K 5 é isomorfo aocomplemento do grafo de Petersen (veja exemplo 1.8).5 Na literatura em inglês, esse grafo é conhecido como line graph e denotado por L(G). A expressão“grafo das arestas” não é padrão em português.6 Veja os livros de Garey–Johnson [GJ79], Harel [Har92] e Sipser [Sip97].