Uma Introducao Sucinta aa Teoria dos Grafos - Rede Linux IME-USP

1.7 Grafos conexos e componentes 17E 1.34 Digamos que um grafo é par se todos os seus vértices têm grau par. Dado umgrafo G, seja C(G) a coleção dos conjuntos das arestas de todos os subgrafos paresde G. Mostre que C(G) é um subespaço vetorial do espaço (2 A(G) , +, ·) definido noexercício 1.28. Dizemos que C(G) é o espaço dos ciclos de G.E 1.35 Seja G um grafo e considere os espaços C(G) e D(G) definidos nos exercícios1.34 e 1.29 respectivamente. Mostre que |C ∩ D| ≡ 0 mod 2 para todo membroC de C(G) e todo membro D de D(G). (Sugestão: Mostre que C pode ser escritocomo uma união disjunta de circuitos, ou seja, que existem circuitos C 1 , . . . , C kdois a dois disjuntos nas arestas tais que C = A(C 1 ) ∪ · · · ∪ A(C k ).)1.7 Grafos conexos e componentesUm grafo é conexo se, para qualquer par {v, w} de seus vértices, existe um caminhocom extremos v e w. Por exemplo, o grafo do bispo (veja 1.2) não é conexo (a menosque o tabuleiro tenha uma só linha e uma só coluna).Proposição 1.2 Um grafo G é conexo se e somente se ∇(X) ≠ ∅ para todosubconjunto próprio e não-vazio X de V (G).PROVA: Suponha que X é um subconjunto próprio e não-vazio de V (G). Seja xum elemento de X e y um elemento de V (G) X . Se G é conexo então existe umcaminho C em G com extremos x e y. Pelo menos uma das arestas de C estará,necessariamente, em ∇(X).Suponha agora que ∇(X) ≠ ∅ para todo subconjunto próprio e não-vazio X deV (G). Seja v um vértice qualquer de G e seja C o conjunto de todos os caminhosem G que têm um dos extremos em v. Seja X o conjunto dos extremos de todos oselementos de C . É evidente que X ≠ ∅ mas ∇(X) = ∅. Assim, em virtude de nossashipóteses, devemos concluir X = V (G). Isso mostra que, para qualquer vértice w,existe um caminho de v a w. Portanto, G é conexo. □Um subgrafo conexo H de um grafo G é maximal se H não é subgrafo própriode algum subgrafo conexo de G. Um componente (ou componente conexo) de umgrafo G é qualquer subgrafo conexo maximal de G. É claro que cada vértice de umgrafo pertence a um e um só componente. É claro também que um grafo é conexose e somente se tem um único componente.ExercíciosF 1.36 Verifique que o grafo do cavalo 3–por–3 (veja exemplo 1.2) tem dois componentes:um caminho de comprimento 0 e um circuito de comprimento 8.F 1.37 Quantos componentes tem o grafo do bispo t-por–t (veja exemplo 1.2)?