Uma Introducao Sucinta aa Teoria dos Grafos - Rede Linux IME-USP

40 CAP. 4 EMPARELHAMENTOSG[U ′ ∪ W ′ ], onde U ′ := U Y e W ′ := W Γ G (Y ). É claro que G ′ é (U ′ , W ′ )-bipartido. Suponha, por um instante, que |Γ G ′(X ′ )| < |X ′ | para algum subconjuntoX ′ de U ′ . Então|Γ G (X ′ ∪ Y )| = |Γ G (X ′ ) ∪ Γ G (Y )|≤ |Γ G (X ′ )| + |Γ G (Y )|< |X ′ | + |Y |= |X ′ ∪ Y | .Essa desigualdade contradiz as hipóteses da presente alternativa. Concluímos assimque |Γ G ′(X ′ )| ≥ |X ′ | para todo subconjunto X ′ de U ′ . Portanto podemos supor, porhipótese de indução, que G ′ tem um emparelhamento E ′ que satura U ′ . Finalmente,é claro que F ∪ E ′ é um emparelhamento em G que satura U . □teoremade HallA expressão “teorema de Hall” é muitas vezes usada para designar a união daproposição 4.2 com o teorema 4.3. Essa união constitui uma boa caracterização dosgrafos (U, W )-bipartidos dotados de emparelhamentos que saturam U .Emparelhamentos máximos em grafos bipartidosA subseção anterior preparou o terreno para a caracterização dos emparelhamentosmáximos em grafos bipartidos. Em 1931, König 4 demonstrou a delimitação inferiorde α ′ que complementa a delimitação superior 4.1:Teorema 4.4 (König) Em todo grafo bipartido G tem-se α ′ (G) ≥ β(G).CPROVA: Seja {U, W } uma bipartição de G. Basta provar que existe um emparelhamentotão grande quanto uma cobertura. Seja C um cobertura mínima e definaos conjuntosU C := U ∩ C, W C := W ∩ C, U C := U C e W C := W C .HSeja H o subgrafo de G induzido por U C ∪ W C . É evidente que H é (U C , W C )-bipartido. Como mostraremos a seguir, a minimalidade de C garante que H satisfaza hipótese do teorema de Hall.Seja X um subconjunto qualquer de U C . O conjunto (C X) ∪ Γ H (X) é umacobertura de G, pois toda aresta que tem uma ponta em X também tem uma pontaem Γ H (X). Como a cardinalidade dessa cobertura é |C| − |X| + |Γ H (X)|, a minimalidadede C exige que tenhamos|Γ H (X)| ≥ |X| .4 Dénes König (1884 − 1944), matemático húngaro e autor do primeiro livro sobre a teoria dosgrafos (Theorie der endlichen und unendlichen Graphen, Akademischen Verlagsgesellschaft, Leipzig,1936).