Uma Introducao Sucinta aa Teoria dos Grafos - Rede Linux IME-USP

30 CAP. 3 COLORAÇÃO DE VÉRTICESPROVA: Seja {X 1 , . . . , X k } uma coloração mínima. Então, para todo i e todoj distinto de i, existe uma aresta com uma ponta em X i e outra em X j . Assim,m(G) ≥ ( k2)= (k 2 − k)/2. Logo, k ≤ (1 + √ 8m + 1)/2. □Considere agora uma delimitação mais sofisticada. Ela confirma a intuição deque χ é tanto menor quanto menor o grau máximo do grafo.Delimitação 3.2 Para todo grafo G tem-se χ(G) ≤ ∆(G) + 1.PROVA: Nossa prova é uma indução no número de vértices. Se n(G) = 1, aproposição é obviamente verdadeira. Suponha agora que n(G) > 1. Seja x umvértice qualquer e H o grafo G − x. Por hipótese de indução, χ(H) ≤ ∆(H) + 1.Seja {X 1 , . . . , X k } uma coloração mínima de H . Como ∆(H) ≤ ∆(G), temosk ≤ ∆(G) + 1 .Se essa desigualdade é estrita, então {{x}, X 1 , . . . , X k } é uma coloração de G comnão mais que ∆(G) + 1 cores. Suponha agora que k = ∆(G) + 1. Como g G (x) ≤∆(G) = k−1, o vértice x é adjacente a não mais que k−1 cores diferentes. Portanto,existe i tal que X i ∪ {x} é um conjunto estável. Se substituirmos X i por X i ∪ {x}em {X 1 , . . . , X k } teremos uma coloração de G com ∆(G) + 1 cores. □Embora existam grafos (os completos e os circuitos ímpares, por exemplo) emque χ = ∆ + 1, a diferença entre χ e ∆ pode ser arbitrariamente grande (este é ocaso, por exemplo, dos grafos K 1,n definidos no exemplo 1.10).ExercíciosD 3.10 Mostre que χ(G) ≤ ∆(G) para todo grafo não-regular G. Mostre algo maisgeral: se G é conexo mas não é um grafo completo nem um circuito ímpar entãoχ(G) ≤ ∆(G). (Esse fato é conhecido como Teorema de Brooks 5 .)3.3 Algumas delimitações inferioresPara obter uma delimitação inferior do número cromático de um grafo é precisomostrar que todas as coloração exigem muitas cores. Eis uma delimitação inferiorsimples:Delimitação 3.3 Para todo grafo G tem-se χ(G) ≥ n(G)α(G) .PROVA: Seja {X 1 , . . . , X k } uma coloração dos vértices de G. É claro que k ≥χ(G) e |X i | ≤ α(G) para cada i. Portanto, n(G) = |X 1 | + · · · + |X k | ≤ k · α(G). Seguedaí que k ≥ n(G)/α(G). □5 Publicado em 1941 por R.L. Brooks.