Uma Introducao Sucinta aa Teoria dos Grafos - Rede Linux IME-USP

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30 CAP. 3 COLORAÇÃO DE VÉRTICESPROVA: Seja {X 1 , . . . , X k } uma coloração mínima. Então, para todo i e todoj distinto de i, existe uma aresta com uma ponta em X i e outra em X j . Assim,m(G) ≥ ( k2)= (k 2 − k)/2. Logo, k ≤ (1 + √ 8m + 1)/2. □Considere agora uma delimitação mais sofisticada. Ela confirma a intuição deque χ é tanto menor quanto menor o grau máximo do grafo.Delimitação 3.2 Para todo grafo G tem-se χ(G) ≤ ∆(G) + 1.PROVA: Nossa prova é uma indução no número de vértices. Se n(G) = 1, aproposição é obviamente verdadeira. Suponha agora que n(G) > 1. Seja x umvértice qualquer e H o grafo G − x. Por hipótese de indução, χ(H) ≤ ∆(H) + 1.Seja {X 1 , . . . , X k } uma coloração mínima de H . Como ∆(H) ≤ ∆(G), temosk ≤ ∆(G) + 1 .Se essa desigualdade é estrita, então {{x}, X 1 , . . . , X k } é uma coloração de G comnão mais que ∆(G) + 1 cores. Suponha agora que k = ∆(G) + 1. Como g G (x) ≤∆(G) = k−1, o vértice x é adjacente a não mais que k−1 cores diferentes. Portanto,existe i tal que X i ∪ {x} é um conjunto estável. Se substituirmos X i por X i ∪ {x}em {X 1 , . . . , X k } teremos uma coloração de G com ∆(G) + 1 cores. □Embora existam grafos (os completos e os circuitos ímpares, por exemplo) emque χ = ∆ + 1, a diferença entre χ e ∆ pode ser arbitrariamente grande (este é ocaso, por exemplo, dos grafos K 1,n definidos no exemplo 1.10).ExercíciosD 3.10 Mostre que χ(G) ≤ ∆(G) para todo grafo não-regular G. Mostre algo maisgeral: se G é conexo mas não é um grafo completo nem um circuito ímpar entãoχ(G) ≤ ∆(G). (Esse fato é conhecido como Teorema de Brooks 5 .)3.3 Algumas delimitações inferioresPara obter uma delimitação inferior do número cromático de um grafo é precisomostrar que todas as coloração exigem muitas cores. Eis uma delimitação inferiorsimples:Delimitação 3.3 Para todo grafo G tem-se χ(G) ≥ n(G)α(G) .PROVA: Seja {X 1 , . . . , X k } uma coloração dos vértices de G. É claro que k ≥χ(G) e |X i | ≤ α(G) para cada i. Portanto, n(G) = |X 1 | + · · · + |X k | ≤ k · α(G). Seguedaí que k ≥ n(G)/α(G). □5 Publicado em 1941 por R.L. Brooks.
3.3 Algumas delimitações inferiores 31Eis outra delimitação inferior, simples mas útil:Delimitação 3.4 Para todo grafo G tem-se χ(G) ≥ ω(G).PROVA: A desigualdade decorre do seguinte fato óbvio: para qualquer coloração{X 1 , . . . , X k } dos vértices e qualquer clique C tem-sek ≥ |C| .Essa desigualdade vale, em particular, se a coloração é mínima e a clique é máxima.Logo, χ ≥ ω. □Essa delimitação inferior tem a seguinte conseqüência interessante: se um grafoG tem uma coloração de vértices e uma clique de mesma cardinalidade então a coloraçãoé mínima (e a clique é máxima). Assim, para tornar evidente a minimalidadede uma determinada coloração {X 1 , . . . , X k }, é suficiente exibir uma clique com kvértices.Considere, por exemplo, o grafo da dama 4–por–4 (veja exemplo 1.1). É fácilencontrar uma coloração do grafo com 5 cores e uma clique com 5 vértices. Portanto,a coloração é mínima e a clique é máxima. Algo semelhante ocorre no grafoda torre t–por–t.Infelizmente, a desigualdade da delimitação 3.4 é estrita para muitos grafos. Adiferença entre χ e ω (e até o quociente χ/ω) podem ser arbitrariamente grandes,embora exemplos desse fenômeno não sejam simples (veja exercício 3.16).ExercíciosE 3.11 O grafo de Catlin 6 é definido da seguinte maneira: comece com um pentágonoP ; troque cada vértice v de P por um triângulo T v (os triângulos correspondentesa vértices diferentes são disjuntos); finalmente, troque cada aresta vw de Ppor 9 arestas ligando cada vértice de T v com cada vértice de T w . Encontre uma coloraçãomínima do grafo. Use a delimitação 3.3 para mostrar que sua coloração é,de fato, mínima.D 3.12 Mostre que χ(G) = ω(G) se G é um grafo de intervalos (veja exemplo 1.12).(Sugestão: Faça indução no número de intervalos. Comece por retirar o intervalocujo extremo direito está mais à esquerda.)D 3.13 Mostre que χ(G) = ω(G) se G é um grafo de comparabilidade (veja exemplo1.13). (Sugestão: Retire do grafo o conjunto dos vértices que são maximais naordem parcial. Aplique indução.)6 Construído em 1979 por P.A. Catlin.
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