Uma Introducao Sucinta aa Teoria dos Grafos - Rede Linux IME-USP

4.3 Emparelhamentos em grafos bipartidos 39O seguinte exemplo é o protótipo do nosso problema: dado um conjunto U demoças e um conjunto W de rapazes, queremos casar cada moça com um dos rapazesque ela conhece (sem violar a lei da monogamia). Em que condições isso é possível?Há uma condição necessária muito simples e natural para que nosso problematenha solução:Proposição 4.2 Se um grafo (U, W )-bipartido tem um emparelhamento quesatura U então |Γ(X)| ≥ |X| para todo subconjunto X de U .PROVA: Seja G o grafo em questão e E um emparelhamento que satura U .Seja H o grafo (V (G), E). Para qualquer subconjunto X de U tem-se |Γ G (X)| ≥|Γ H (X)| = |X|. □Essa condição necessária tem a seguinte conseqüência imediata: para mostrarque um grafo (U, W )-bipartido não tem um emparelhamento que satura U , bastaexibir um subconjunto X de U tal que |Γ(X)| < |X|.A prova da recíproca da proposição 4.2 foi publicada em 1935 por Hall 3 :Teorema 4.3 (Hall) Para qualquer grafo (U, W )-bipartido, se |Γ(X)| ≥ |X|para todo subconjunto X de U então o grafo tem um emparelhamento quesatura U .PROVA: Seja G o grafo em questão e suponha que |Γ G (X)| ≥ |X| para todosubconjunto X de U . A prova prossegue por indução na cardinalidade de U . Se|U| = 1 então é claro que o grafo tem um emparelhamento que satura U . Suponhaagora que |U| > 1 e que o resultado vale para todo grafo (U ′ , W ′ )-bipartido em que|U ′ | < |U|. Considere as alternativas a seguir.ALTERNATIVA 1: |Γ G (X)| > |X| para todo subconjunto próprio e não-vazio Xde U . Escolha uma aresta uw, com u em U . Seja U ′ := U {u}, W ′ := W {w} eG ′ := G[U ′ ∪ W ′ ]. É claro que G ′ é (U ′ , W ′ )-bipartido. Observe que|Γ G ′(X)| = |Γ G (X) {w}| ≥ |X|para todo subconjunto X de U ′ . Assim, por hipótese de indução, G ′ admite umemparelhamento, digamos E ′ , que satura U ′ . Finalmente, E ′ ∪ {uw} é um emparelhamentoem G que satura U .ALTERNATIVA 2: |Γ G (Y )| = |Y | para algum subconjunto próprio e não-vazio Yde U . Seja H o subgrafo de G induzido por Y ∪Γ G (Y ). É claro que H é (Y, Γ G (Y ))-bipartido e|Γ H (X)| = |Γ G (X)| ≥ |X|para todo subconjunto X de Y . A hipótese de indução garante, então, a existênciaem H de um emparelhamento F que satura Y . Agora considere o subgrafo G ′ :=F3 Philip Hall (1904 − 1982), matemático inglês.