Uma Introducao Sucinta aa Teoria dos Grafos - Rede Linux IME-USP

4.4 Emparelhamentos em grafos arbitrários 43Um componente de um grafo é ímpar se tem um número ímpar de vértices. Onúmero de componentes ímpares de um grafo G será denotado neste capítulo pori(G). Há uma condição necessária muito simples para a existência de um empare-lhamento perfeito:i(G)Proposição 4.5 Se um grafo G tem um emparelhamento perfeito entãopara todo conjunto S de vértices.i(G − S) ≤ |S|PROVA: Suponha que G tem um emparelhamento perfeito E e sejam G 1 , . . . , G kos componentes ímpares de G − S . Para cada i, defina V i := V (G i ). Como |V i | éímpar, temos necessariamente∇ G (V i ) ∩ E ≠ ∅ .É evidente que cada aresta em ∇ G (V i ) tem uma ponta em S . Para cada i, escolhauma aresta em ∇ G (V i ) ∩ E e seja s i a ponta dessa aresta em S . Agora observe quei(G − S) = k = |{s 1 , . . . , s k }| ≤ |S|. □Figura 4.3: Ilustração da condição necessária para a existência de umemparelhamento perfeito. A figura sugere um grafo G e um conjuntoS (oval cinza) de vértices. O grafo G − S tem três componentes ímparese dois pares. Veja a proposição 4.5.Em virtude da proposição 4.5, um conjunto S de vértices tal que i(G − S) > |S|constitui um certificado da inexistência de emparelhamento perfeito. Surpreendentemente,todo grafo desprovido de emparelhamento perfeito possui um tal certificado.Esse fato foi demonstrado em 1947 por Tutte 8 :Teorema 4.6 (Tutte) Se i(G − S) ≤ |S| para todo conjunto S de vértices deum grafo G então G tem um emparelhamento perfeito.ESBOÇO DA PROVA: A prova é uma indução no número de vértices do grafo.Se n(G) = 1 então o resultado é vacuamente verdadeiro (pois G não satisfaz as8 William T. Tutte (1917 − 2002), matemático inglês (que viveu muito tempo no Canadá).