Uma Introducao Sucinta aa Teoria dos Grafos - Rede Linux IME-USP

18 CAP. 1 CONCEITOS BÁSICOSE 1.38 Suponha que cada um dos vértices de um grafo G tem grau 0, 1 ou 2. Mostreque cada componente de G é um caminho ou um circuito.E 1.39 Seja G um grafo com δ(G) > (n(G) − 2)/2. Mostre que G é conexo.E 1.40 Seja G um grafo com δ(G) ≥ 3. Mostre que G tem um circuito par.E 1.41 Mostre que todo grafo G satisfaz a desigualdade m(G) ≥ n(G) − c(G), ondec(G) é o número de componentes de G.E 1.42 Uma árvore é uma floresta (veja exercício 1.33) conexa. (Os grafos discutidosno exemplo 1.9 são árvores.) Mostre que um grafo conexo G é uma floresta se esomente se, para cada aresta a, o grafo G − a não é conexo.1.8 Grafos aleatóriosG(n)VNSeja G(n) a coleção de todos os grafos com conjunto de vértices V := {1, . . . , n}. 11 Éclaro que|G(n)| = 2 N ,com N = ( n2). Qualquer propriedade de grafos (como, por exemplo, a propriedadede ser conexo) 12 define uma subcoleção de G(n). Assim, convém confundir os conceitosde “propriedade” e “subcoleção” de G(n). Diremos que quase todo grafo temdeterminada propriedade P(n) se|P(n)|limn→∞ |G(n)| = 1 .Uma forma de se estudar o conjunto G(n) é baseada na introdução de uma medidade probabilidade nesse conjunto.Seja p um número no intervalo (0, 1) e escolhacada elemento de V (2) , independentemente, com probabilidade p. Se A é o conjuntodos pares escolhidos, então (V, A) é um grafo aleatório em G(n). A probabilidadede que o grafo (V, A) assim construído seja idêntico a um determinado elemento deG(n) que tenha m arestas ép m (1 − p) N−m .Se p = 1 2 então todos os 2N grafos em G(n) são equiprováveis: a probabilidade deobter qualquer um deles é 1/2 N .11 Qualquer outro conjunto de cardinalidade n poderia ser usado no lugar de {1, . . . , n}.12 Naturalmente, só estamos interessados em propriedades invariantes sob isomorfismo.