Uma Introducao Sucinta aa Teoria dos Grafos - Rede Linux IME-USP

24 CAP. 2 CONJUNTOS ESTÁVEIS, CLIQUES E COBERTURASKSeja X um subconjunto de V com k elementos. Há uma correspondência biunívocaentre os grafos em G(n) nos quais X é estável e os subconjuntos de V (2) X (2) .Logo, X é estável em 2 N−K dos grafos, sendo K := ( (k2). Como V temn)k ≤ nksubconjuntos de cardinalidade k, temos|Q(n, k)| ≤ n k 2 N−K ,e portanto|Q(n, k)||G(n)|≤ n k 2 −k(k−1)/2 .Segue daí que2 log 2(|Q(n, k)|/|G(n)|)≤ 2k log2 n − k(k − 1)Como lim n→∞ (1 − ε log 2 n) = −∞, temose isso prova (2.1). □= k (1 + 2 log 2 n − k)≤ ⌈(2 + ε) log 2 n⌉ (1 + 2 log 2 n − (2 + ε) log 2 n)= ⌈(2 + ε) log 2 n⌉ (1 − ε log 2 n) . (2.2)lim log |Q(n, k)|2n→∞ |G(n)|= −∞ ,Por exemplo, se ε = 0,2 então, em virtude de (2.2), temos |Q(1024, 22)| ≤2 220−231 |G(1024)| e portanto uma fração de pelo menos 1 − 2 −11 (mais que 99,9%)dos grafos em G(1024) têm α < 22.ExercíciosE 2.15 Prove que, por menor que seja o número positivo η, temos α(G)