Uma Introducao Sucinta aa Teoria dos Grafos - Rede Linux IME-USP

14 CAP. 1 CONCEITOS BÁSICOSg(v)δ(G)∆(G)O grau de um vértice v é o número de arestas que incidem em v, ou seja, acardinalidade do corte ∇(v) (igual à cardinalidade de Γ(v)). O grau de v em umgrafo G será denotado porg G (v) ,ou simplesmente por g(v). O grau mínimo de um grafo G é o número δ(G) :=min{g(v) : v ∈ V (G)}. O grau máximo do grafo é o número ∆(G) := max{g(v) : v ∈V (G)}.Um grafo G é regular se todos os seus vértices têm o mesmo grau, ou seja, seδ(G) = ∆(G). Um grafo é k-regular se g(v) = k para todo vértice v.Proposição 1.1 Em todo grafo, a soma dos graus dos vértices é igual ao dobrodo número de arestas. Ou seja, todo grafo (V, A) satisfaz a identidadeg(v) = 2|A|.∑v∈VPROVA: Uma aresta com pontas x e y contribui uma unidade para g(x) e umaunidade para g(y). Portanto, cada aresta contribui exatamente duas unidades paraa soma ∑ v g(v). □ExercíciosF 1.19 É verdade que |Γ(X)| = |∇(X)| para todo conjunto X de vértices?E 1.20 Mostre que todo grafo tem um número par de vértices de grau ímpar.E 1.21 Mostre que todo grafo com dois ou mais vértices tem pelo menos dois vérticesde mesmo grau.E 1.22 Quantas arestas tem o grafo da dama 8–por–8 (veja exemplo 1.1)? Quantasarestas tem o grafo do cavalo 8–por–8?E 1.23 Quantas arestas tem o grafo das arestas de um grafo G?E 1.24 Quais são os graus dos vértices de uma molécula de alcano (veja exemplo1.9)?E 1.25 Mostre que ∆(G) = n(G) − δ(G) − 1 e δ(G) = n(G) − ∆(G) − 1 para todografo G.E 1.26 Mostre que se G é um grafo com δ(G) > 0 e m(G) < n(G) então G tem pelomenos dois vértices de grau 1.