Uma Introducao Sucinta aa Teoria dos Grafos - Rede Linux IME-USP

34 CAP. 3 COLORAÇÃO DE VÉRTICESF 3.21 Mostre que χ(G) = ω(G) para todo grafo bicolorível G.F 3.22 Seja G um grafo bicolorível conexo (veja seção 1.7). Mostre que G tem umaúnica bicoloração. Em outras palavras, se {U, W } e {U ′ , W ′ } são bicolorações de Gentão U = U ′ (e portanto W = W ′ ) ou U = W ′ (e portanto W = U ′ ).D 3.23 Mostre que m(G) ≤ n(G) 2 /4 para todo grafo bicolorível G. (Isso é um casoespecial do exercício 2.24.)A 3.24 Encontre uma boa caracterização da classe {G : χ(G) ≤ 3} dos grafos tricoloríveis.❍ ❍❍❍ ✁ ✁ ❍❍❍❍❍✁ ✁✁✁✁ ✁✁✁ ❍ ❩ ❩❩❩✓ ✓❩ ✓ ✓ ✓ ✓ ❩❩❩✓ ✓ ❩ ✓ ✓ ❩ Figura 3.2: Exercício 3.20. Esses grafos são bicoloríveis?3.5 O número cromático da maioria dos grafosO número cromático de quase todos os grafos (veja seção 1.8) é surpreendentementealto se comparado com o número de vértices do grafo:Teorema 3.6 Por menor que seja o número positivo ε, temospara quase todo grafo G em G(n).χ(G) > 12 + εnlog 2 nPROVA: De acordo com a delimitação 3.3, o número cromático de todo grafo Gsatisfaz a desigualdadeχ(G) ≥nα(G) .De acordo com o teorema 2.4, para qualquer ε > 0 e para quase todo G em G(n),temos α(G) < (2 + ε) log 2 n. Isso prova o resultado. □Por exemplo, se ε = 0,2 então |Q(1024, 22)| ≤ 2 −11 |G(1024)| e portanto umafração de pelo menos 1 − 2 −11 (mais que 99,9%) dos grafos em G(1024) têm χ ≥47 = ⌈ ⌉102422 .