Gestão Hospitalar N.º16 1986

APLICAÇÃO
DE MODELOS MATEMÁTICOS
....
gramação linear, dado que a descoberta
de Dantzig surgiu enquadrada na
equipa de trabalho do projecto SCOOP
(Scientific Computation of Optimum
Program} da USAF (Força Aérea dos
EUA}.
Daí para cá as aplicações da programação
linear têm-se vindo a desenvolver
especialmente na indústria e também
na agricultura fundamentalmente
para resolver problemas de planeamento
da produção, muito embora, na
generalidade da bibliografia, sejam
também apresentadas formalizações·típicas
de problemas de análise de actividades,
de transporte, de investimento,
de repartição da produção entre empresas
de um sector e da dieta.
A PROGRAMAÇÃO LINEAR
Os modelos matemáticos de programação
linear são modelos de explicação
- previsão, porque não só mostram
como as coisas se passam, como
os diferentes factores reagem entre si,
como a medida de eficiência ou funçã9
objectivo evolui em função das variáveis
de acção, mas também porque não se
limita a verificar o passado, aplicandose
ao futuro para permitir a tomada de
decisões.
De facto, a programação linear através
do algoritmo do Simplex, ai('. m de
nos indicar a solução óptima para um
dado problema, fornece também um
conjunto muito importante de informações
úteis aos responsáveis pelas tomadas
de decisões.
FORMA GERAL
Os modelos aplicados em investigação
operacional apresentam-se frequentemente
com uma expressão matemática
complicada. No entanto, a
estrutura de um modelo de progra-
, mação linear é bastante simples.
O problema geral da programação
linear consiste na determinação do
óptimo (máximo ou mínimo) de uma
função linear de n variáveis xj (j = 1,
2, ... , n), a função objectivo, ligadas
por equações ou inequações lineares,
chamadas restrições. Ou seja:
Função Objectivo:
Sujeito a:
n
Max L == ! 1 ·X·
J J
j == 1
!
n
j == 1
j = (1,2, ... , n)
a .. X·~ b·
1 J J 1
i = (1,2, .. ., p)
xj ~O
Em que, admitindo que se tratava
de um problema de planeamento de
produção, teríamos:
L = lucro global que se pretende
maximizar;
xi = variável em que se quantifica a
produção (produtos de 1 a n);
li = lucro unitário de cada unidade
de produto j :
ai. = quantidade necessária de recurso
J i (matéria-prima, mão-de-obra,
etc.), para produzir uma unidade
de produto j;
bi = quantidades disponíveis de recursos
i.
INT~RPRETAÇÃO ECONÓMICA,
ANALISE PÔS-OPTIMAL
E ANÁLISE DE SENSIBILIDADE
Admitindo ainda que se trata de um
problema de planeamento da produção,
a resolução do modelo pelo
método do Simplex indicava-nos qual
o número de unidades, dos diferentes
tipos de produtos que se deveria produzir
para maximizar o lucro.
Além da solução, extraordinariamente
importante, que constitui um
plano de produção, afectando de forma
óptima os recursos necessários,
disporíamos também de dados que
nos possibilitariam fazer uma interpretação
económica, importante para
a tomada de decisões, em domínios
como o da valorização dos recursos e
o da análise custos-benefícios.
De facto, o modelo dá-nos valores
que medem as produtividades marginais
dos recursos raros, que nos
permitem saber quais os efeitos que
se verificariam na função objectivo
(nos lucros) r'esultantes da utilização
de mais, ou menos, uma unidade desses
recursos e simultaneamente quais
as alterações - através das taxas
marginais de substituição - que haverão
que se fazer na produção, por
esse motivo.
É também o caso da pós-optimização
que nos permite saber quais as
consequências sobre a solução óptima
de uma variação dos dados numéricos
do problema.
Esta questão de conhecer as consequências
na solução óptima face à
alteração dos dados do problema,
pode pôr-se depois de uma solução
óptima encontrada, ou logo de princípio
quando se pretende explorar um
conjunto de soluções possíveis, considerando
certos parâmetros como
dados que podem variar.
A análise pós-optimal consiste, no
fundo, em gerar novas soluções óptimas
(o que é fácil com a utilização de
computadores), fazendo variar os segundos
membros das restrições (limites
dos recursos), os coeficientes
"input - output" das restrições (indicadores
de produtividade) ou os coeficientes
da função objectivo (margem
de lucro).
O algoritmo do Simplex, como método
de resolução dos problemas de
programação linear, permite-nos ainda
análises de sensibilidade através das
quais se estuda a ccvizinhança)' de
uma solução óptima, ou seja, indica­
-nos os intervalos de variação nos
quais um parâmetro ou uma variável
se podem movimentar sem que a
solução óptima se altere. Por exemplo,
numa óptica empresarial consistirá
em saber quando pode variar a
margem unitária de lucro de um produto
sem ser necessário modificar a
estrutura da produção ou base óptima.
APLICAÇÕES
DA PROGRAMAÇÃO LINEAR AO
SECTOR DA SAÚDE
Ficou dito na introdução que a
construção dos modelos de investigação
operacional constitui simultaneamente
um processo de abstracção,
porque há necessidade de simplificar,
e de generalização, porque se
pretende um determinado sistema ou
fenómeno.
Por estas razões os instrumentos
matemáticos não estão isentos de se
traduzirem em falhanços, não havendo
certos cuidados na sua construção,
especialmente se se pretendem aplicar
aos Serviços de Saúde, onde,
devido ao elevado grau de complexidade
do seu funcionamento, as rela­
-ções entre as diferentes variáveis não
são facilmente linearizáveis e a determinação
rigorosa dos parâmetros não
se faz pacificamente.
A este propósito tem interesse lembrar
que acerca do termo bons modelos
se concluiu, num seminário organizado
pela OMS, em Lisboa (b), em
1978, que " .. . o primeiro e mais importante
critério de aceitabilidade de um
modelo é que ele seja a consequência
de um consenso, entre os responsáveis
pelas tomadas de decisões e os
construtores do modelo, sobre qual o
,problema que se pretende descrever.
É ainda importante que o modelo seja
logicamente consistente, cientificamente
rigoroso e fundamentado em
boa informação estatística».
NOS ESTADOS UNIDOS DA
AMÉRICA ·
Sem ser necessário fazer uma pesquisa
muito profunda, foi possível
encontrar em bibliografia americana,
vários exemplos de aplicação à saúde
da generalidade dos problemas típicos
de programação linear.
Eis alguns exemplos:
É o caso ·de problemas de planeamento
estratégico em que, num dos
exemplos, perante a situação de abrir
num hospital mais 100 novas camas
se formula o problema em termos de
saber qual a melhor afectação dessas
camas a doentes de Medicina e de
Cirúrgia, com vista a maximizar o
proveito económico, tendo como restrições
os limites impostos pelo próprio
número de camas, em função
das demoras médias dos dois tipos de
doentes e as capacidades de resposta
do Laboratório, do R.X. e do Bloco
Operatório.
É também o caso do problema das
dietas em que conhecendo o custo
unitário de cada dieta se pretende
determinar a solução óptima de minimização
dos custos, garantindo a
satisfação dos limites mínimos de certas
caraçterísticas nutricionais, como
calorias, proteínas, gorduras, etc.
Aplicados ao sector de enfermagem
pode citar-se o exemplo do problema
de afectação de n enfermeiras por m
serviços, tendo em vista determinar a
solução óptima em função dos valores
de uma escala de classificação utilizada
pela Enfermeira Supervisora
depois de entrevistar cada enfermeira
e tendo em conta o seu "background",
personalidade, preferência, etc.
O problema de transporte tipicamente
referido nos compêndios sobre
programação linear aparece aplicado
à saúde num caso de distribuição de
sangue numa grande área metropolitana
em que quatro bancos de sangue
asseguram a distribuição bissemanal
a 10 hospitais. Conhecendo as
disponibilidades de cada banco, as
necessidades de cada hospital e os
custos de distribuição do sangue de
cada um dos bancos para cada um
dos hospitais~ o problema é formulado
em termos de obter a solução
que minimiza os custos, satisfazendo
as necessidades mínimas de cada
hospital e tendo em conta as quantidades
disponíveis de sangue em cada
.banco.
EM PORTUGAL
A um nível macro conhece-se a
experiência de um modelo de planeamento
dos Serviços de Saúde,
para 1980, de Maria do Rosário Giraldes
e de José Pinto Paixão. Trata-se
da adaptação a Portugal de um modelo
elaborado na Finlândia em 1975
e visa maximizar a satisfação dos
objectivos previstos para 1980 traduzidos
em número de consultas e dias
de internamento, respeitando os limites
impostos pelas disponibilidades
dos diferentes recursos, humanos e
materiais.
Consiste, portanto, num modelo de
produção de Serviços de Saúde, discriminando
os cuidados primários e
diferenciados assim . como o sector
privado, no que se refere a.cuidados
de internamento.
· Numa acepção microeconómica registam-se
duas experiências conduzidas
pelo autor deste artigo.
A primeira, que constituiu a dissertação
do Curso de Administração
Hospitalar, consiste num modelo de
planeamento dos Serviços de Internamento
do Hospital Distrital de Beja,
para 1984.
Definidas as metas assistenciais
pelos Directores dos Serviços e conhecendo
os preços unitários de financiamento
do Departamento Gestão
Financeira dos Serviços da Saúde,
e os custos unitários o modelo
desenvolveu-se exploratoriamente com
duas funções objectivo, uma de minimização
dos custos e outra de
.maximização do financiamento, perseguindo
ambas soluções de planeamento
da produção que reduzissem
ao min1mo os desvios em relação
às metas previamente fixadas pelos
Directores de Serviço.
O modelo estruturou-se também
com um conjunto de restrições em
que se relacionam os diferentes indicadores
de produtividade com a variável
principal (dias de internamento},
tendo por limites as quantidades disponíveis
dos vários recursos que integram
o processo produtivo: trabalho
de enfermage·m, trabalho médico,
camas, exames radiológicos, análises
clínicas e recursos financeiros (restrição
de garantia do equilíbrio orçamental).
A segunda experiência, bastante
recente, integrada no 1.° Curso de
Engenharia Industrial, que decorreu
no âmbito da Direcção-Geral dos
Hospitais com a colaboração da Universidade
de Wisconsin, EUA, trata­
-se do problema da dieta aplicado ao
Serviço de Alimentação e Dietética do
Hospital Distrital de Évora, para o
planeamento mensal das dietas.
Em concreto, o modelo foi elaborado
a partir de 100 dietas, 50 de
carne e 50 de peixe, previamente
seleccionadas, para as quais foi construída
uma matriz decapitações, com
base na qual é possível a cada momento,
por meio de programa informático
próprio, conhecer o preço
actualizado de cada dieta em função
dos preços médios dos géneros.
Assim, à semelhança do exemplo
descrito da bibliografia americana, o
modelo tem uma função objectivo de
minimização dos custos de tipo:
100
Min z == !
i = 1
W. X.
1 1
para i = (1,2, .. ., 100)
Em que: x, = dietas de 1 a 100
w = custo unitário de cada
1
dieta,
e um conjunto de restrições de garantia
dos valores mínimos de proteínas,
gorduras, hidratos de carbono e calorias,
bem como restriçõe[. de equilíbrio
e diversidade alimentar, como:
- equilíbrio carne/peixe;
- limites de repetição de cada dieta;
- limites do número de utilizações
dos principais géneros alimentares.
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