Soluționare matematică a problemelor economice - Silvestru ...

A(0, 1)
O(0, 0)
δ
B(1, 2)
x1 + x2 =d
x1 + x2 = max (
C(2, 1)
D(2, 0)
Fig. 1.4
Este clar că o interpretare grafică este în general imposibilă, dar limbajul geometric poate
fi extins în mod natural.
Dreapta
(1.50) 0,5x1 + x2 = d
va fi numită curbă de nivel a fucţiei obiectiv. Distanţa dintre origine şi dreapta (2.41) este
. Evident, valoarea maximă a lui d (adică a funcţiei obiectiv) este obţinută atunci
cînd δ are valoarea maximă. Cum soluţia optimă (x1, x2) satisface atît sistemul (2.40) cît şi
ecuaţia (2.41), este clar că dreapta (2.41) trebuie să aibă un punct în comun cu poligonul OABCD
astfel încît δ să fie maxim. Aceste condiţii sînt satisfăcute evident de coordonatele punctului B;
deci, 1 = 1, 2 = 2.
Se observă din acest exemplu că soluţia optimă a unei probleme de programare liniară
este unul din vîrfurile tronsonului soluţiilor, proprietatea care, aşa cum vom vedea ulterior, este
generală. Pentru exemplul considerat aici, tronsonul soluţiilor este poligonul OABCD din fig.4.
Dacă schimbăm funcţia obiectiv (2.39) cu alta este posibil ca soluţia optimă a problemei să fie un
vîrf al poligonului. În acest caz cînd curbele de nivel ale funcţiei obiectiv sînt drepte paralele cu
una dintre laturile poligonului, soluţiile optime sînt în număr infinit, corespunzînd punctelor de
pe latura poligonului paralelă cu curba de nivel a funcţiei obiectiv. De exemplu, pentru problema
maximizării funcţiei obiectiv
)
26