Soluționare matematică a problemelor economice - Silvestru ...

λ0y să aibă cel mult p – 1 componente pozitive. Într-adevăr, putem lua λ0 = - λ1 dacă λ2 = + ∞ şi
λ0 = λ2 dacă λ1 = - ∞.
Coloanele corspunzătoare componentelor pozitive ( în nmăr de cel mult p – 1) ale
programului x + λ0y pot fi sau liniar independente ( cazul (a) studiat mai sus) sau liniar
dependente. Înultimul caz se reia raţionamentul de mai sus; într-un număr finit de etape vom
ajnge la caul (a) şi vom obţine deci un program de bază.
TEOREMA 2. Dacă problema de programare liniară (1.55) are un program optim,
atunci are un program optim de bază.
Demostraţie. Fie x un program optim care are primele p component positive. Ca şi în
teorema precedent, pentru p = 0 rezultatul se obţine imediat. Dacă p > 0, atunci avem de
considerat două cazuri:
(a) Vectorii a 1 , a 2 , …, a p sînt dependenţi. În acest caz demostraţia este determinată
deoarece x este chiar program de bază.
(b) Vetorii a 1 , a 2 , …, a p sînt liniar dependenţi. Ca şi în demonstraţia teoremei
precedente, rezultă că există un vector y = (y1, y2, …, yp, 0, …, 0)', astfel încît să avem
îndeplinită condiţia Ay = 0 cu y ≠ 0 şi deci x + λy este soluţie a sistemului de ecuaţii Ax = b
pentru orice număr real . Dacă în plus alegem λ sufficient de mic, adică, mai precis, ≤ min (-
λ1, λ2), rezultă că x + λy este chiar program; λ1 şi λ2 sînt numerele definite mai sus, în
demostraţia teoremei precedente, de (1.60) şi (1.61).
Deoarece x este program optim şi x + λy este program, rezultă
c'x ≤ c'x + λ c'y,
de unde obţinem λ c'y ≥ 0. Nu putem avea c'y ≠ 0, deoarece, alegînd λ de semn contrar lui c'y,
am obţine λ c'y < 0. Rezultă atunci că c'y = 0, ceea ce arată că x + λy este de asemenea cu o
unitate numrul componentelor positive ale programului optim x + λy, alegînd în mod convenabil
valoarea lui λ(λ = λ0). Dacă un număr finit de etape ajungem la cazul (a), adică obţinem un
program de bază optim.
§ 1.3.4. O METODĂ DE REZOLVARE A PROBLEMELOR
DE PROGRAMARE LINIARĂ
Din rezultatele obţinute mai sus rezultă că pentru aflarea programelor optime putem
proceda în modul următor:
(a) Determinăm toate soluţiile de bază ale sistemului de m ecuaţii cu n necunoscute
(m ≤ n), dintre care unele sînt admisibile, adică sînt programe de bază.
30