Revista (format .pdf, 1.2 MB) - RECREAÅ¢II MATEMATICE

Seria din membrul al II-lea, uniform convergentă în tot planul exceptând originea,e derivabilă termen cu termen şi rezultatele găsite sunt serii convergente pe aceeaşiîntindere, ale căror sume sunt date de derivatele de acelaşi ordin ale membrului I.Observând acum că:d 2n+1dx 2n+1 (P (x)) = 0, d 2n+1 µ 1 (2p +1)(2p +2)···(2p +2n +1)dx 2n+1 x 2p+1 = −x 2n+2p+2şi că, prin urmared 2n+1 µ11dx 2n+1 (2p +2n +1)!x 2p+1 = −(2p)!x 2p · 1x 2n+2 ,obţinemd 2n+1 µx 2ndx 2n+1 sh 1 xch 1= − xx 2n+2 .(T.L.)Notă. Această problemă a fost rezolvată de D-nii: N. Abramescu, Gr. Orăşanu,G. Constantinescu, M. Radu, C. Gheorghiu şi I. G. Niculescu.În acelaşi mod se pot demonstra şi formulele:d 2n+1 µx 2ndx 2n+1 sin 1 cos 1 =(−1) n+1 xxx 2n+2 ;= − 1 µx 2n+2 1+ 12!x 2 + ···+ 1+ ···(2p)!x2p d n ³1/x´dx n x n−1 e =(−1) n e 1/xx n+1 etc. "Ca un omagiu adus marelui matematician român Traian Lalescu, vom da acesteiprobleme o nouă soluţie, accesibilă elevilor actualului liceu.Să considerăm funcţiile f n : R ∗ → R, f n (x) =x 2n sh 1 , unde n ∈ N. Se constatăimediatcă f n este indefinit derivabilă, oricare ar fi n ∈ N. Ne propunem săxdemonstrăm căf n (2n+1) (x) =− 1x 2n+2 ch 1 , ∀n ∈ N (1)xprin metoda inducţiei matematice, folosind formula lui Leibniz de derivare a produsuluia două funcţii indefinit derivabile, adicănX(uv) n = Cnu k (n−k) v (k) , ∀n ∈ N ∗ . (2)k=0µAvem f0 0 (x) = shx 1 0= − 1 x 2 ch 1 ,decipentrun =0formula (1) se verifică.xDe asemenea avem:f 1 (x) =x 2 sh 1 x , deci f 1 0 (x) =2x · sh 1 x − ch 1 x ;f 001 (x) =2sh 1 x − 2 x ch 1 x + 1 x 2 ch 1 x ;f1 000 (x) =− 2 x 2 ch 1 x + 2 x 2 ch 1 x + 2 x 3 sh 1 x − 1 x 4 ch 1 x = − 1 x 4 ch 1 x ,deci şi pentru n =1formula (1) se verifică.Presupunem că formula(1) este adevărată pentrun ∈ N ∗ adică arelocrelaţia6