Revista (format .pdf, 1.2 MB) - RECREAÅ¢II MATEMATICE

semnele ± fiind alese în toate modurile posibile.Demonstraţie. a) Dacă y 0 ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞) , atunci y0 2 > 1 şi inductivrezultă că y n > 1 pentru orice n ∈ N. Cum y n+1 − y n = 2yn 2 − 1 − y n =(2y n +1)(y n − 1) > 0, rezultă că (y n ) este strict crescător. Prin urmare, există½1, − 1 2¾, imposibil, întrucâtl = lim y n;dacă l ∈ R, rezultă l =2l 2 − 1, deci l ∈n→∞y n > 1, ∀n ∈ N şi (y n ) este strict crescător. Conchidem că lim y n = ∞.n→∞½b) Fie (y n ) convergent. Dacă lim y n = l, rezultă l =2l 2 − 1, deci l ∈ 1, − 1 ¾.n→∞ 2Dacă l = 1, din relaţia de recurenţă rezultă y n+1 − 1 = 2(y n − 1) (y n +1),deci |y n+1 − 1| =2|y n − 1||y n +1|. Presupunând că y n 6=1pentru orice n ∈ N,avem călimn→∞|y n+1 − 1||y n − 1|= limn→∞ 2 |y n +1| = 4 şi din criteriul raportului rezultălimn→∞ |y n − 1| = ∞, absurd. Aşadar, există n 0 ∈N cu y n0 =1 şi atunci y n =1, n≥n 0 .În cazul l = − 1 2 scriem relaţia de recurenţăsubforma2y n+1+1 =(2y n +1)(2y n −1)şi continuăm ca mai sus.Presupunem acum că există n 0 ∈ N astfel încât (y n ) n≥n0este constant. Din½relaţia de recurenţă deducem y n0 ∈ 1, − 1 ¾.Cumy n0 =1implică y n =1, n ≥ n 0 ,2rezultă că (y n ) n∈Neste convergent cu limita egală cu1. La fel, dacă y n0 = − 1 2deducem y n = − 1 2 , n ≥ n 0 şi lim y n = − 1n→∞ 2 .c) Se demonstrează prin inducţie matematică.d) 1. Cum 1 ∈ M, rezultăcă M 6= ∅. Folosind a) şi b), y 0 ∈ M implică existenţaunui n 0 astfel încât (y n ) n≥n0este constant (egal cu 1 sau − 1 2 ). Dacă y n =1, n ≥ n 0 ,din sistemul y n0 =2yn 2 − 1, y 0−1 n 0 −1 =2yn 2 − 1, ... , y 0−2 1 =2y0 2 − 1, din aproapeîn aproape, găsim un număr finit de valori pentru y 0 . La fel se analizează cazuly n = − 1 2 , n ≥ n 0.2. y 0 ∈ M implică faptulcă y n =1, n ≥ n 0 sau y n = − 1 2 , n ≥ n0 0 (n 0 , n 0 0 numerenaturale arbitrare, dar fixate).½ Folosind c) şi y 0 ∈ M ⊂ [−1, 1], deducem cos (2 n arccos y 0 )=1, de unde y 0 ∈cos 2kπ ¾2 ; k ∈ Z . Folosind periodicitatea funcţiei cosinus rezultă că y 0 ∈ A. Lafel,n0din y n = − 1 2 , n ≥ n0 0 , deducem că y 0 ∈ B. Înconcluzie,M = A ∪ B.e) Folosind formula cos x r12 = ± 2 + 1 2 cos x, x ∈ R, deducem că A ⊂ A0 şi cummulţimile au fiecare câte 2 n 0elemente, rezultă că A = A 0 .Lafel,B = B 0 .Bibliografie1. Gh. Eckstein et al. - Olimpiadele şi concursurile de matematică IX—XII,EdituraBîrchi, 2005.36