Revista (format .pdf, 1.2 MB) - RECREAÅ¢II MATEMATICE

ghiului iniţial.(ClasaaIV-a)Petru Asaftei, IaşiSoluţie. După primaseriedeîndoiriseobţine un dreptunghi care are lungimeaegală cu lungimea dreptunghiului iniţial, iar lăţimea este egală culaturapătratuluiobţinut în final, a cărui latură are lungimea 12m :4=3m. Deoarece dreptunghiuliniţial a fost îndoit de-a lungul de 6 ori, înseamnă călăţimea lui este 7 × 3m =21m.Ultimele 9 îndoiri sunt echivalente cu îndoirile de-a latul ale dreptunghiului iniţial,de unde rezultă că lungimea dreptunghiului iniţial este 10 × 3m =30m. Perimetruldreptunghiului iniţial este 2 · (30m +21m) =2· 51m = 102m.Clasa a V-aV.56. Se consideră numărul A =5+5 2 +5 3 + ···+5 2005 .a) Să searatecă A nu este pătrat perfect.b) Să segăsească 5 divizori mai mici decât 100 ai lui A.Andrei Tofan, elev, IaşiSoluţie. a) Evident că A . 5, însă A ./ 5 2 , prin urmare A nu poate fi pătrat perfect.b) Suma A are 2005 termeni, pe care îi vom grupa câte 5:A = ¡ 5+5 2 +5 3 +5 4 +5 5¢ + ···+ ¡ 5 2001 +5 2002 +5 2003 +5 2004 +5 2005¢ == ¡ 5+5 2 +5 3 +5 4 +5 5¢¡ 1+5 5 + ···+5 2000¢ = 3905 ¡ 1+5 5 + ···+5 2000¢ .Cum 3905 = 5 · 11 · 71, numărul A admite ca divizori pe 1, 5, 11, 55, 71.V.57. Aflaţi restul împărţirii prin 47 anumărului N = 1268 99| {z...9}.2005 cifreAlexandru Negrescu, elev, BotoşaniSoluţie. Observăm că N +1 = 1269 00| {z...0}= 1269 · 10 2005 =47· 27 · 10 2005 , deci2005 cifreN +1se divide cu 47. Atunci restul împărţirii lui N prin 47 este 47 − 1=46.V.58. Aflaţi numerele naturale x, y, z cu proprietatea că2 4x+1 +2 3y+1 +2 2z+1 = 9248.Cristian - Cătălin Budeanu, IaşiSoluţie. Deoarece 9248 10 = 10010000100000 2 , egalitatea din enunţ revine, datorităunicităţiiscrieriiunuinumăr în baza 2, lafaptulcă (4x +1, 3y +1, 2z +1)∈{(13, 10, 5) , (13, 5, 10) , (10, 13, 5) , (10, 5, 13) , (5, 10, 13) , (5, 13, 10)}. Cercetând fiecarecaz în parte, obţinem soluţii numai în prima şi penultima situaţie, anume (x, y, z) ∈{(1, 3, 6) , (3, 3, 2)}.V.59. Dacă a 1 a 2 ...a 2 2n − b 1 b 2 ...b n = c1 c 2 ...c 2 n ,săsearatecăa 1 a 2 ...a n a 1 a 2 ...a 2 2n − b 1 b 2 ...b n b 1 b 2 ...b n = c1 c 2 ...c n c 1 c 2 ...c 2 n .Petru Asaftei, IaşiSoluţie. Notăm A = a 1 a 2 ...a n , B = b 1 b 2 ...b n , C = c 1 c 2 ...c n .Observăm căa 1 a 2 ...a n a 1 a 2 ...a 2 n =(A · 10 n + A) 2 = A 2 (10 n +1) 2şi încă douărelaţii similare. Astfel, egalitatea de demonstrat revine laA 2 (10 n +1) 2 − B 2 (10 n +1) 2 = C 2 (10 n +1) 2 ,45