Revista (format .pdf, 1.2 MB) - RECREAÅ¢II MATEMATICE

) Presupunem că patrulaterul ABCD are un singur unghi obtuz, anume A. bAtunci zonele de observare ale laturilor BC şi CD acoperă patrulaterul şi, deci,1-puncte nu există.c) Fie ABCD cu exact două unghiuri obtuze şi vecine, anume B b şi C. b În acestcaz patrulaterul este situat în întregime în Z AD ,darşi în Z AB ∪ Z BC ∪ Z CD . Caurmare, nu există 1-puncte.d) Fie ABCD cu exact două unghiuri obtuze şi opuse, anume bB şi bD. Atuncipatrulaterul este situat atât în Z AB ∪Z BC cât şi în Z AD ∪Z CD şi nu va avea 1-puncte.e) Fie ABCD cu trei unghiuri obtuze şi fie A b unghiul său ascuţit. Atunci intersecţiaZ BC ∩Z CD este situată înpatrulaterşi formează paralelogramul LMNC (ca şiîn ABCD, vârfurile sunt notate în sensul acelor de ceasornic). Fie {E} = BM ∩ ADşi {F } = DM ∩ AB. Se constată uşor că 4ABE ⊂ Z AB şi 4AF D ⊂ Z AD . Atunci,M este 4-punct, punctele segmentului deschis (MF) sunt 3-puncte, iar cele interioarepatrulaterului AF ME sunt 2-puncte.6. Procedăm ca şi în cazul problemei J 6 (problema 6 de la juniori, prezentatămai sus).Dacă p = q, atunci numerele p şi q divid 8 şi, deci, p = q =2,adică (2, 2) estesoluţie a problemei.Să determinăm soluţiile (p, q) cu p 6= q. O pereche (x, y) de numere naturale senumeşte admisă dacă: (A) x, y sunt relativ prime şi x ≤ y; (B) x 2 +8se divide cuy, iary 2 +8se divide cu x. Mai întâi, observăm că o pereche admisă esteformatădin numere impare. Apoi, ca şi în problema J 6 se demonstrează că, dacă (x, y) estepereche admisă, atunci şi perechea ¡ y, ¡ y 2 +8 ¢ /x ¢ este admisă. Acest rezultat areurmătoarele consecinţe:1) Dacă (a i ) i≥0este şirul dat de a 0 = a 1 =1şi a i+2 = ¡ a 2 i+1 +8¢ /a i (i ≥ 0),atunci orice pereche (a i ,a i+1 ) este admisă;2) Dacă (b i ) i≥0este şirul dat de b 0 =1, b 1 =3şi b i+2 = ¡ b 2 i+1 +8¢ /b i (i ≥ 0),atunci orice pereche (b i ,b i+1 ) este admisă.Să arătăm acum că orice pereche admisă are forma (a i ,a i+1 ) sau (b i ,b i+1 ) pentruun anumit indice i ≥ 0. Presupunem că arfiadevărată situaţia contrară şi fie (x, y)perechea minimală (în raport cu suma x + y) care nu-i de nici una dintre formeleprecedente. Cum ¡ x 2 +8 = ay, y 2 +8 = bx şi a, x sunt relativ prime, obţinemy 2 +8 = x2 x 2 +16 ¢ +8 ¡ a 2 +8 ¢a 2 = bx şi a 2 +8 se divide cu x. Dacă a ≤ x,atunci (a, x) este pereche admisă şi, datorită minimalităţii, avem (a, x) =(a i ,a i+1 )sau (a, x) =(b i ,b i+1 ); rezultă că (x, y) =(a i+1 ,a i+2 ) sau (x, y) =(b i+1 ,b i+2 ),încontradicţie cu presupunerea făcută. Dacă a>x, atunci x 2 +8=ay ≥ (x +2) 2 =a 2 +4x +4,deundex =1, a = y =3, din nou contradicţie.Să scriem acum termenii şirurilor (a i ) i≥0 şi (b i ) i≥0ce nu depăşesc 2005: a 0 =a 1 =1, a 2 =9, a 3 =89, a 4 = 881; b 0 =1, b 1 =3, b 2 =17, b 3 =99, b 4 = 577. Dintreaceste numere sunt prime numai 3, 17, 89, 881 şi 577. Caurmare,soluţiile problemeisunt perechile (p, q) ∈ {(2, 2) , (3, 17) , (17, 3) , (89, 881) , (881, 89)}.42