Revista (format .pdf, 1.2 MB) - RECREAÅ¢II MATEMATICE

More documents

Recommendations

Info

ÃqXqX! Ã qX!f(z) = a i + a i x i z + a i x 2 i z 2 + ··· ,i=1 i=1 i=1deci, folosind ipoteza, rezultă existenţa unor numere întregi b 0 ,b 1 ,b 2 ,... astfel încâtf(z) =m · P b j z j .Pedealtă parte, putem scrie şij≥0Pa1 (1 − x 2 z) ···(1 − x q z)f(z) =(1 − x 1 z)(1 − x 2 z) ···(1 − x q z) .Asta ne arată căseriaformală (de fapt, polinomul) de la numărător poate fi scris înforma Xa1 (1 − x 2 z) ···(1 − x q z)=m(1 − x 1 z)(1 − x 2 z) ···(1 − x q z) X b j z j ,j≥0qPdeci are toţi coeficienţii divizibili cu m, deundeobţinem că m | a i S (i)t , unde S (i)ti=1este a t-a sumă simetrică fundamentală înx 1 ,...,x i−1 ,x i+1 ,...,x q , ceea ce implicăşiqXqXqXm|x q−11 a i − x q−21 a i S (i)1 + ···+(−1) q−1 a i S (i)q−1saum|i=1qXi=1i=1i=1a i (x q−11 − x q−21 S (i)1 + ···+(−1) q−1 S (i)q−1 ).Cum, pentru i>1, avem(x 1 − x 1 ) ···(x 1 − x i−1 )(x 1 − x i+1 ) ···(x 1 − x q )=0,adicăx q−11 − x q−21 S (i)1 + ···+(−1) q−1 S (i)q−1 =0,ne rămâne doar căm | a 1 (x q−11 − x q−21 S (1)1 + ···+(−1) q−1 S (1)q−1 )=a 1(x 1 − x 2 ) ···(x 1 − x q ),ceea ce trebuia demonstrat.Iar asta încheie şi demonstraţia teoremei 2: din teoremele 3 şi 4 şi faptul că a 1 =1,rezultă că |G| divide (x 1 −x 2 ) ···(x 1 −x q ),careesteprodusulaq−1 numere naturalediferite şi cel mult egale cu 2n (deoarece urma oricărei matrici din G este un numărîntreg cuprins între −n şi n), deci divide şi pe (2n)!.Bibliografie1. G. P. Dresden - There are only nine finite groups of fractional linear transformswith integer coefficients, Mathematics Magazine, June 2004, 211-218.2. R. A. Horn, Ch. R. Johnson - Analiză matricială, Fundaţia Theta, Bucureşti,2001.3. J. Kuzmanovich, A. Pavlichenkov - Finite groups of matrices whose entries areintegers, American Mathematical Monthly, February 2002.4. T. J. Laffey - Lectures in integer matrices.5. D. N. Rockmore, Ki-Seng Tan - A note on the order of finite subgroups ofGL n (Z), Commutative Algebra, 2/1999.6. Ken-Ichi Tahara - On the finite subgroups of GL 3 (Z), Nagoya Math. Journal.7. Nicolas Tossel - Reseaux et théorèmes de finitude, Revue des mathèmatiques speciales,1-2/2005.12
Ceviene şi triunghiuri triomologiceTemistocle BÎRSAN 1Cu ocazia aniversării a 110 ani de apariţieneîntreruptă a Gazetei MatematiceÎn această Notă, pornind de la un triunghi oarecare, punem în evidenţă o configuraţiede triunghiuri triomologice cu acelaşicentrudegreutatecaşi triunghiul iniţial.Două triunghiuri, 4ABC şi 4XY Z, se numesc omologice dacădrepteleAX, BY ,CZ sunt concurente; punctul de concurenţă senumeşte centru de omologie al triunghiurilor.Triunghiurile date sunt triomologice dacă admit trei centre de omologie.1. Fie ABC un triunghi oarecare şi numerele α, β, γ ∈ R \{1} cu αβγ = −1. Pedreapta BC considerăm punctele A α , A β , A γ determinate de rapoartele A αBA α C = α,A β BA β C = β şi respectiv A γB= γ (utilizăm segmentele orientate pentru ca puncteleA γ CA γ , A β şi A γ să poată fi situate în orice poziţie pe BC, exceptând vârfurile B şi Cale 4ABC). Punctele B α ,B β ,B γ ∈ CA şi C α ,C β ,C γ ∈ AB se determină înmodsimilar. Condiţia αβγ = −1 asigură existenţa punctelor X α , Y α etc. definite prin{X α } = AA α ∩ BB β ∩ CC γ , {X β } = AA β ∩ BB γ ∩ CC α ,{X γ } = AA γ ∩ BB α ∩ CC β , {Y α } = AA α ∩ CC β ∩ BB γ , (1){Y β } = AA β ∩ CC γ ∩ BB α , {Y γ } = AA γ ∩ CC α ∩ BB β .Atât pe figură câtşi schematic dinA B CX α (α β γ)X β (β γ α)X γ (γ α β)A B C(α γ β) Y α(β α γ) Y β(γ β α) Y γ(2)se poate urmări formarea acestor puncte şi a triunghiurilor X α X β X γ şi Y α Y β Y γ .C βC αAX β1α =−31β =−2γ =− 6B γB βBαBC γGX αY αY βY γX γA α A βA γC1 Prof.dr.,Catedradematematică, Univ. Tehnică "Gh.Asachi",Iaşi13
Page 1 and 2: Anul VIII, Nr. 1Ianuarie - Iunie 20
Page 5 and 6: Elogiu adus revistei "Gazeta Matema
Page 7 and 8: marea generaţiei matematice din ca
Page 9 and 10: Asupra problemei 809 din Gazeta Mat
Page 11 and 12: f n (2n+1) (x) =− 1x 2n+2 ch 1 x
Page 13 and 14: la zero, deci trebuie ca toţi term
Page 15: ⎛⎞a 11 B ... a 1n B⎜A ⊗ B =
Page 19 and 20: Ţinând cont de aceste relaţii, e
Page 21 and 22: Cumsin 18 ◦ = 1 4³√5 − 1´,
Page 23 and 24: Inegalităţi generatoare de noi in
Page 25 and 26: Asupra unei probleme dată laONM,Bi
Page 27 and 28: Asupra criteriului de congruenţă
Page 29 and 30: O generalizare a identităţii Bote
Page 31 and 32: Întrebarea 2. Care sunt seturile X
Page 33 and 34: figura F (k +1) este constituită d
Page 35 and 36: Desigur, toate acestea se puteau fa
Page 37 and 38: putem presupune, cum am spus, a n+1
Page 39 and 40: Asupra unei recurenţe de ordin doi
Page 41 and 42: Olimpiada Internaţională de Matem
Page 43 and 44: Arătăm mai întâi că, dacă (x,
Page 45 and 46: Notăm f = 2 3 e B + 2 3 e C − 1
Page 48 and 49: triciclete, înseamnă cănumărul
Page 51: VI.59. Fie 4ABC cu m( B) b = 120
Page 54 and 55: VIII.57. Fie a, b, c > 0 astfel în
Page 56: Soluţie. Conform inegalităţii me
Page 60 and 61: Fn 2 Fn+1 2 (F n+1 + F n ) 2 − F
Page 62 and 63: − ln t − ln (1 − t) − 2 > 0
Page 64 and 65: +Xk 1 ,...,k n ≥0k 1+k 2+···+k
Page 66 and 67:
G78. Dacă a, b, c, d ∈ (0, ∞),
Page 68 and 69:
cos (a + b)Cum tg a tg b − 1=−c
Page 70 and 71:
Numim drum un traseu format din 6 s
Page 72 and 73:
cercurilor C 1 şi C 2 taie cercul
Page 74 and 75:
că a 1 ≤ a 2 ≤ ··· ≤ a n
Page 76 and 77:
3 construim o figură formatădinnT
Page 78 and 79:
continuă este de asemenea densă
Page 80 and 81:
eprezintă aşasea parte din totalu
Page 82 and 83:
VIII.70. Se consideră cubul ABCDA
Page 84 and 85:
) Să se studieze buna definire a
Page 86 and 87:
L101. Fie a, n ≥ 2 două numereî
Page 88 and 89:
1) sin 4 A +sin 4 B +sin 4 C ≥ 27
Page 90 and 91:
Şcoala nr. 4 "I. Teodoreanu". Clas
Page 92 and 93:
ASOCIAŢIA “RECREAŢII MATEMATICE
Page 94:
CUPRINSElogiu adus revistei “Gaze
show all

Revista (format .pdf, 1.2 MB) - RECREAÅ¢II MATEMATICE

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?