Revista (format .pdf, 1.2 MB) - RECREAÅ¢II MATEMATICE

Primul pas: Considerăm acoperirea obţinută ca mai sus, dar înlocuind figura Fcu simetrica ei faţă de(Oy, astfel încât această acoperire să suprapună seturiledepătrate de latura 2 k peste cele considerate anterior. Fie F 0 noua figură obţinută dinsuprapunerea celor două acoperiri (reuniunea) şi considerarea modulo 2 (un patrăţelare asociat 1 dacă esteacoperitdeunnumăr impar de plantaţii şi 0 altfel). Procedămanalog cu F 0 dar faţă deaxa(Ox. Obţinem o nouă figură F 00 ,careestesimetricăşifaţădeorizontalăşi faţă de verticală, încadratăînpătratul de latură 2 k .Săobservămcă fiecare pătraţel a fost acoperit de cel mult 4 ori.Realizăm acoperirile determinate de translaţii ale acoperirii de mai sus cu figuraF 00 ,devectori2 k−1 i, 2 k−1 j, 2 k−1 i +2 k−1 j.Să considerăm reuniunea celor 4 acoperiri. Privind mai atent, observăm că amobţinut astfel o nouă acoperire cu pătrate de latură 2 k−1 ,cuofigură F (2) în fiecarepătrat, simetrică orizontalşi vertical. Acest proces reprezintă de fapt echivalentulprimei părţi, întrucât acoperim figura din pătratul de latură 2 k−1 cu simetrica eifaţă deaxaverticalăşi apoi cu simetricele faţă de axa orizontală a celor două figuriobţinute. Fiecare pătrat a fost acoperit de cel mult 4+4+4+4=4· 4 ori.Putem continua acum cu următorii paşi analogi cu partea a doua a pasului 1(partea cu translaţiile) pănă ajungem la acoperirea cu pătratul de latura 1, care areîn interiorul lui figura F (k +1), care poate fi ori mulţimea vidă oriînsuşi pătrăţelul,cazîncareamobţinut o 2-acoperire impară a planului cu F (şi o măsură de cel mult4 · 4 · 4 · ...· 4=4 k ).Pentru a determina numărul la care ajungem (0 sau 1) în F (k +1), vom consideraaceeaşiseriedepaşi ca mai sus, urmărind în acelaşi timp cum evoluează suma tuturorvalorilor asociate patrăţelelor interiorului pătratului de latură 2 k .Să presupunem că amconsideratpătratul de vârfuri [1, 1], [1, 2 k ], [2 k , 1], [2 k , 2 k ](ne referim aici la cele 4 pătrate unitare) şi fie a i,j =1dacă pătratul [i, j] este înfigura F şi 0 altfel.Vomdaacumunexemplude"paşi" făcuţi ca mai sus:Exemplul 4.1 111000101100 00 00 1 1 01 1 1 11 0 0 10 1 1 00 0 0 00 1 1 00 1 1 00 0 0 01111Să notăm b i,j , i = 1, 2 k−1 , j = 1, 2 k−1 valorile asociate acoperirii rezultate dinsuma celor 4 acoperiri (fără a le reduce modulo 2; adunăm a i,j -urile corespunzătoarepentru a proba dacă [i, j] estesaunuînF (2)). Acum este uşor să observăm căb i,j = a i,j + a i,2k +1−j + a 2k +1−i,j + a 2k +1−i,2 k +1−j. Dar aceasta înseamnă că:Xb i,j =X ¡ ¢ Xai,j + a i,2 k +1−j + a 2 k +1−i,j + a 2 k +1−i,2 k +1−j = a i,ji≤2 k−1 i≤2 k−1i≤2 kj≤2 k−1 j≤2 k−1 j≤2 kAm demonstrat prin aceasta că suma valorilor asociate rămâne aceeaşi. Cu altecuvinte, valoarea din ultimul pătrat după ultimul pas este egală cu suma valoriloriniţiale ale figurii F . Deci, dacă figuraF are un număr impar de pătrăţele, atunci28