Revista (format .pdf, 1.2 MB) - RECREAÅ¢II MATEMATICE

Câteva proprietăţi ale subgrupurilor finitedin GL n (Z)Gabriel DOSPINESCU 1Cu ocazia aniversării a 110 ani de apariţieneîntreruptă a Gazetei Matematice1. Introducere: lema lui Serre. Ceea ce veţi citi în continuare este o încercaretimidă de a expune o colecţie de rezultate referitoare la subgrupurile finite dinGL n (Z). Se prea poate ca demonstraţiile care urmează să fie cunoscute; autorul le-agăsit "aproape" singur şi crede că merităsă fie prezentate. Articole (mai serioase)despre proprietăţile acestor subgrupuri s-au scris multe şi, cu siguranţă, se vor maiscrie, căci problemele referitoare la ele sunt dificile şi multe dintre ele îşi aşteaptă deani buni rezolvările. Îl invităm pe cititorul interesat de rezultate mai profunde săcitească articolele din bibliografie, mult mai tehnice şi mai specializate. Se pare că în[3] arfiodescrieresuperbăaaceloraşi (sau chiar a mai multor) rezultate, însă, dinpăcate, nu am avut acces la acest articol, aşa că nu putem decât să-l recomandăm"orbeşte" cititorilor interesaţi de asemenea aspecte.Iată, mai întâi, ce rezultate vom demonstra (sau doar aminti). Vom deduce formasimplă ateoremeiJordan-Zassenhaus (cu ajutorul lemei lui Serre, de care am luatcunoştinţădin[7]) relativ la finitudinea claselor de izomorfism ale subgrupurilor finiteale lui GL n (Z), apoi vom demonstra că orice subgrup finit din GL n (Z) are cel mult(2n)! elemente şi că există 9 clase de izomorfism pentru subgrupurile lui GL 2 (Z).Vom începe cu lema lui Serre, un rezultat de o frumuseţe deosebită, care permiteoprimă majorare a ordinului subgrupurilor finite din GL n (Z); utilitatea acesteia nepermite să onumim"teoremă". Toate grupurile despre care va fi vorba în continuareau cel puţin două elemente.Teorema 1 (Lema lui Serre). Fie G ⊂ GL n (Z) un grup finit şi p>2 un numărprim. Considerăm aplicaţia ϕ : GL n (Z) → GL n (Z p ) care asociază fiecărei matriciA matricea claselor de resturi modulo p ale elementelor din A. Atunci restricţiaacestei aplicaţii la G este injectivă.Demonstraţie. Desigur, ϕ este bine definită şi este un morfism între grupurileGL n (Z) şi GL n (Z p ) (aşa cum se verifică imediat). Să presupunem că restricţia aplicaţieiϕ la G nu este injectivă, deci există A ∈ G, A 6= I n astfel încât ϕ(A) =ϕ(I n ).Asta înseamnă că putem scrie A = I n +pB, unde B ∈ M n (Z). Fieλ 1 ,λ 2 ,...,λ n valorileproprii ale matricii B; seştie atunci că A are valorile proprii 1+pλ i , 1 ≤ i ≤ n.Acum să privimcuatenţie sumele S k = λ k 1 + λ k 2 + ···+ λ k n (pentru k număr natural):toate vor fi numere întregi (cel mai simplu argument este teorema fundamentală apolinoamelor simetrice, căci toate aceste sume sunt polinoame cu coeficienti întregiîn sumele simetrice fundamentale ale numerelor λ 1 ,λ 2 ,...,λ n , iar aceste sume simetricesunt - modulo un semn plus sau minus - coeficienţii polinomului caracteristic almatricii B ∈ M n (Z), deciîntregi). Însă, G fiind finit, putem scrie A |G| = I n , decitrebuie să avem(1 + pλ i ) n =1, pentru fiecare 1 ≤ i ≤ n, iar de aici obţinem imediatcă |λ i | < 1, ∀1 ≤ i ≤ n. Or, aceasta înseamnăcăşiruldenumereîntregi(S k ) k≥1 tinde1 Student, École Normale Supérieure, Paris8