Revista (format .pdf, 1.2 MB) - RECREAÅ¢II MATEMATICE

Exerciţiul 5. Arătaţi că, pentru orice numere reale nenegative a, b, c, d, cud =min{a, b, c, d} are loc inegalitateaa 4 + b 4 + c 4 + d 4 +2abcd − a 2 b 2 − a 2 c 2 − a 2 d 2 − b 2 c 2 − b 2 d 2 − c 2 d 2 ≥≥ d 2 (a − d) 2 + d 2 (b − d) 2 + d 2 (c − d) 2 +2d (a − d)(b − d)(c − d) .Deduceţi inegalitatea lui Turkevicia 4 + b 4 + c 4 + d 4 +2abcd ≥ a 2 b 2 + a 2 c 2 + a 2 d 2 + b 2 c 2 + b 2 d 2 + c 2 d 2(pentru orice a, b, c, d ≥ 0), identitate a cărei consecinţă esteşi, eventual, alte rafinăriale ei.Metoda normării şi o demonstraţie a inegalităţii mediilor. După cums-a văzut, metoda descrisă în această notă se aplică în cazul inegalităţilor simetriceşi omogene în n +1 variabile, să le spunem a 1 ,a 2 ,...,a n+1 . Simetria ne permitesă considerăm, nerestrictiv, că, de exemplu, a n+1 este cel mai mic dintre toatenumerele a 1 ,a 2 ,...,a n+1 (chiar şi simetria circulară nepermiteoasemeneapresupunere).După ceverificăm inegalitatea pentru a n+1 =0(dacă e cazul) folosimsubstituţiilea 1a 2a n=1+x i , =1+x 2 , ... , =1+x n ,a n+1 a n+1 a n+1unde, desigur, x 1 ,x 2 ,...,x n sunt nenegative (ceea ce, de obicei, ajută în noua formăainegalităţii). Se poate alege şi a n+1 =max{a 1 ,a 2 ,...,a n+1 }, dar e doar o chestiunede gust, nu schimbă esenţial calculele. Apoi, folosind transformările inversex 1 = a 1 − a n+1,x 2 = a 2 − a n+1,...,x n = a n − a n+1,a n+1 a n+1 a n+1ne putem întoarce la inegalitatea noastră pentruaobţine chiar întăriri ale ei (căci,de obicei, rămân în diferenţa dintre cei doi membri ai inegalităţii transformate mulţitermeni nenegativi care pot fi utilizaţi în acest scop), sau identităţi interesante (careo implică). Cine a citit cu atenţie descrierea metodei în [3] a observat deja că noi amconsiderat o formă particulară a acesteia. Asta pentru că aşa am lucrat noi şi amobţinut destule rezultate interesante (chiar mai multe decât cele expuse aici). Dar,citiţi [3]şi veţi afla şi mai multe (chiar dacă în capitolul dedicat normării sunt puţineexemple)!În această secţiune am ales pentru exemplificare demonstraţia inegalităţiia n 1 + a n 2 + ···+ a n n ≥ na 1 a 2 ···a n , a 1 ,a 2 ,...,a n ≥ 0,adică ainegalităţii mediilor, o demonstraţie care s-ar putea să pară complicată (şichiar este!) faţă de multe alte demonstraţii cunoscute (căci, nu-i aşa? se cunoscfoarte multe demonstraţii ale inegalităţii mediilor); totuşi să ofacem.Cum verificarea în cazurile n ∈ {1, 2} (sau chiar n =3)numaiconstituieoproblemătrecem direct la pasul de inducţie; pe care o facem după schema: presupunemcă amdemonstratcă, pentru fiecare k ≤ n inegalitateaa k 1 + a k 2 + ···+ a k k ≥ ka 1 a 2 ···a kare loc (pentru orice a 1 ,a 2 ,...,a k ≥ 0)şi o dovedim pentru k = n+1. În inegalitateade demonstrata n+11 + a n+12 + ···+ a n+1n + a n+1n+1 ≥ (n +1)a 1a 2 ···a n a n+1 , a 1 ,a 2 ,...a n ,a n+1 ≥ 0,32