Sveriges framtida befolkning 2012–2060

Fakta om statistiken Sveriges framtida befolkning 2012–2060
Om dödstalen för en tidsperiod skulle sakna en trendmässig
förändring skulle det vara tillräckligt att beskriva logaritmen av
dödstalet med den genomsnittliga dödlighetsnivån (första termen)
och slumptermen (tredje termen) i formeln ovan.
Vanligtvis förändras dödligheten, åtminstone över en längre tidsperiod.
I modellen delas dödlighetsförändringen upp i två separata
delar eller vektorer (faktorer i 2:a termen i högerledet), vilka representerar
dödstalens ålders- och tidsberoende. Vektorn för tidseffekten
k t antas alltså vara gemensam för alla åldrar. Vektorn för ålderseffekten
bx antas avspegla hur tidseffekten fördelas på dödlighetsförändringar
i olika åldrar.
Ålders- och tidseffekterna, b x och k t , har skattats med ”singular
value decomposition” (SVD) för män respektive kvinnor. 33
Innan beräkningen av ålders- och tidseffekterna centreras matrisen
av de logaritmerade dödstalen med hjälp av subtraktion av genomsnittet
av dessa dödstal över tid ålder för ålder (radvis). Genom
detta förfarande undviks första termen i modellen vid skattningen
av tidsförändringarna.
Ekvationen för ”singular value decomposition” av Y (m x n) är
följande:
T
Y = USV
m = ålder
n = tid
Y = centrerade, logaritmerade dödstal
U = m x n –matris (ortonormal)
S = n x n –diagonalmatris, singulära värden
T
V = n x n matris (ortonormal)
Det första singulära värdet och första vektorn i vardera två ortogonala
matriser U och V används för parameterberäkningen. Beräkningen
gjordes i SAS med hjälp av subrutinen SVD. Resultatet har
dock inte entydiga värden utan omräknas under följande bivillkor:
summan av x b över åldrarna är lika med 1 och summan av k t över
33
Denna multivariata analysmetod har beröringspunkter med ”principalcomponent”
analys och är vid kvadratisk, symmetrisk ursprungsmatris i
överensstämmelse med diagonalisering vid egenvärdesproblem.
188 Statistiska centralbyrån