Analiza matematyczna 2, Rozmaitosci z brzegiem, formy ró ...
Analiza matematyczna 2, Rozmaitosci z brzegiem, formy ró ...
Analiza matematyczna 2, Rozmaitosci z brzegiem, formy ró ...
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>Analiza</strong> <strong>matematyczna</strong> 2, Rozmaito´sci z <strong>brzegiem</strong>, <strong>formy</strong> <strong>ró</strong>˙zniczkowe<br />
liniowa wymiaru k<br />
m .<br />
Definicja 16.12 (zewne ↩ trznej <strong>formy</strong> <strong>ró</strong>˙zniczkowej)<br />
Odwzorowanie ω: G −→ L m as(R k ) nazywamy zewne ↩ trzna ↩ forma ↩ <strong>ró</strong>˙zniczkowa ↩ stopnia<br />
m . Je´sli jest ono klasy C r , to mówimy, ˙ze forma <strong>ró</strong>˙zniczkowa jest klasy C r . Zbiór<br />
form <strong>ró</strong>˙zniczkowych stopnia m oznaczać be ↩ dziemy symbolem Ω m (G) .<br />
Nie uwidaczniamy tu klasy <strong>ró</strong>˙zniczkowalno´sci, ale w razie potrzeby be ↩ dzie mówić<br />
ile razy <strong>ró</strong>˙zniczkowalna ma być forma <strong>ró</strong>˙zniczkowa. Je´sli nie wspomnimy o tym, nale˙zy<br />
zak̷ladać, ˙ze mowa jest o formie klasy C 1 .<br />
Przyjmujemy dodatkowo, ˙ze Ω 0 (G) oznacza zbiór funkcji rzeczywistych na zbio-<br />
rze otwartym G .<br />
Ka˙zda ↩ funkcje ↩ o warto´sciach w przestrzeni liniowej mo˙zna zapisać w wybranej<br />
bazie. Nasza↩ wybrana↩ baza↩ be↩ da↩ standardowo <strong>formy</strong> postaci dxi1 ∧ dxi2 ∧ . . . ∧ dxim<br />
opisane nieco wcze´sniej w jednym z przyk̷ladów. Je´sli ω ∈ Ωm (G) , to istnieja↩ takie<br />
funkcje rzeczywiste ωi1,i2,...,im okre´slone na zbiorze G , ˙ze<br />
ω(x) =<br />
<br />
ωi1,i2,...,im(x) dxi1 ∧ dxi2 ∧ . . . ∧ dxim .<br />
i1
Change language