Analiza matematyczna 2, Rozmaitosci z brzegiem, formy ró ...

Analiza matematyczna 2, Rozmaito´sci z brzegiem, formy ró˙zniczkowe
O dywergencji powiemy jeszcze co´s wa˙znego. Za̷ló˙zmy, ˙ze rozpatrujemy uk̷lad m
równań ró˙zniczkowych z m niewiadomymi funkcjami:
x ′ (t) = P(x(t)) .
P jest funkcja ↩ klasy C 1 . Wtedy, jak wiadomo z teorii równań ró˙zniczkowych, wa-
runek pocza ↩ tkowy wyznacza jednoznacznie rozwia ↩ zanie, które zale˙zy g̷ladko od tego
warunku pocza ↩ tkowego. Niech ϕ t (x) be ↩ dzie funkcja ↩ zmiennych t ∈ R oraz x ∈ R m ,
która jest rozwia ↩ zaniem uk̷ladu spe̷lniaja ↩ cym warunek ϕ 0 (x) = x . Mamy zatem
∂
∂t ϕt (x) = P(ϕ (x)) . t
Przy ustalonym t otrzymujemy przekszta̷lcenie okre´slone na pewnym zbiorze otwar-
tym (gdyby wszystkie rozwia ↩ zania by̷ly okre´slone na ca̷lej prostej dla ka˙zdego wa-
runku pocza ↩ tkowego i funkcja P na ca̷lej przestrzeni R m , to przekszta̷lcenie ϕ t
by̷loby okre´slone na ca̷lym R m ). Z twierdzenia o jednoznaczno´sci rozwia ↩ zań wynika,
˙ze ϕ t ◦ ϕ s = ϕ t+s , a poniewa˙z ϕ 0 jest identyczno´scia ↩ , wie ↩ c ϕ t jest dyfeomerfizmem
(odwrotne to ϕ ). Niech ϕ = (ϕ
−t t 1 t , ϕ2 t , . . . , ϕm t ) . Wtedy mo˙zemy napisać
∂
∂t det(Dϕt)
∂
=
2 ϕ 1
t ∂
∂t∂x1
2 ϕ 1
t
∂
. . .
∂t∂x2
2 ϕ 1
t
∂t∂xm
∂ϕ 2
t ∂ϕ
∂x1
2
t
∂ϕ
. . .
∂x2
2
t
∂xm
∂ϕ 3
t ∂ϕ
∂x1
3
t
∂ϕ
. . .
∂x2
3
t
∂xm
.
. . .. .
∂ϕ m
t ∂ϕ
∂x1
m
t
∂ϕ
. . .
∂x2
m
∂ϕ
+
t
∂xm
1
t ∂ϕ
∂x1
1
t
∂ϕ
. . .
∂x2
1
t
∂xm
∂ 2 ϕ 2
t ∂
∂t∂x1
2 ϕ 2
t
∂
. . .
∂t∂x2
2 ϕ 2
t
∂t∂xm
∂ϕ 3
t ∂ϕ
∂x1
3
t
∂ϕ
. . .
∂x2
3
t
∂xm
.
. . .. .
∂ϕ m
t ∂ϕ
∂x1
m
t
∂ϕ
. . .
∂x2
m
+ · · · +
t
∂xm
∂ϕ
+
1
t ∂ϕ
∂x1
1
t
∂ϕ
. . .
∂x2
1
t
∂xm
∂ϕ 2
t ∂ϕ
∂x1
2
t
∂ϕ
. . .
∂x2
2
t
∂xm
∂ϕ 3
t ∂ϕ
∂x1
3
t
∂ϕ
. . .
∂x2
3
t — tylko w jednym wierszu w ka˙zdym z m wyznacz-
∂xm
.
. .
.
.. .
. . .
∂ 2 ϕ m
t
∂t∂x1
∂ 2 ϕ m
t
∂t∂x2
∂ 2 ϕ m
t
∂t∂xm
ników wyste ↩ puja ↩ pochodne drugiego rze ↩ du. Do otrzymanego wzoru podstawiamy
t = 0 pamie↩ taja↩c o tym, ˙ze ϕ (x) = x i
0 ∂ϕit
∂t (x) = Pi(ϕt(x)) . W rezultacie
∂
∂t det(Dϕt) t=0 =
∂P1
∂P1
. . .
∂x2 ∂xm
1 0 . . . 0
∂P2 ∂P2
0 1 . . . 0
. . .
. . ..
.
. . .
∂x1 ∂x2
.
+
.
0 0 . . . 1
.
. .
.
.. .
0 0 . . . 1
1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
+
.
. . .. .
=
. . .
∂P1
∂x1
∂P1
∂x1
∂Pm
∂x1
∂Pm
∂x2
22
∂Pm
∂xm
∂P2
∂xm
+
+ ∂P2
∂x2
+ · · · + ∂Pm
∂xm .