Analiza matematyczna 2, Rozmaitosci z brzegiem, formy ró ...

Analiza matematyczna 2, Rozmaito´sci z brzegiem, formy ró˙zniczkowe
jest wektorem w̷lasnym odpowiadaja↩cym warto´sci w̷lasnej − 1
y2 . Wynika sta↩d, ˙ze
det D ϕS ◦ϕ −1
1
N (y) = − y2k < 0 , wie↩ c na razie nie mo˙zemy stwierdzić, ˙ze sfera Sk jest orientowalna. Je´sli jednak zasta↩pimy mape↩ ϕS przez mape↩ ψ zdefiniowana↩ wzorem
ψ(x) = −x1
1+xk+1 ,
x2
xk , . . . , , czyli z̷lo˙zeniem ϕS z symetria 1+xk+1 1+xk+1
↩ wzgle↩ dem
podprzestrzeni y1 = 0 , to stwierdzimy, ˙ze det D ψ ◦ ϕ −1
1
N (y) = y2k > 0 , a to
oznacza, ˙ze sfera S k jest orientowalna.
Przyk̷lad 16.9 Niech
T 2 = {(x, y, z): ∃α,β x = (2 + cos α) cos β, y = (2 + cos α) sin β, z = sin α} .
Przyjmijmy te˙z F (α, β) = (2 + cos α) cos β, (2 + cos α) sin β, sin α . Zbiór T 2 jest
wie ↩ c obrazem p̷laszczyzny w przekszta̷lceniu F . Jest to torus powsta̷ly z obrotu
okre ↩ gu o ´srodku w punkcie (2, 0, 0) le˙za ↩ cego w p̷laszczy´znie y = 0 wokó̷l osi OZ .
Wyka˙zemy, ˙ze jest on rozmaito´scia ↩ orientowalna ↩ . Atlasem be ↩ dzie zbiór z̷lo˙zony z prze-
kszta̷lceń odwrotnych do obcie ↩ ć przekszta̷lcenia F do otwartych kwadratów o bokach
równoleg̷lych do osi uk̷ladu wspó̷lrze ↩ dnych, o boku 2π , na których przekszta̷lcenie
jest ró˙znowarto´sciowe, nawet wie ↩ cej kwadrat jest homeomorfizmem na obraz, co udo-
wodnili´smy wcze´sniej. Nale˙zy wykazać, ˙ze je´sli F1 i F2 sa ↩ takimi parametryzacjami,
sa↩ mapami, to det D(F −1
1 ◦F2)(y) > 0 dla ka˙zdego y , dla którego
z̷lo˙zenie to jest dobrze okre´slone. Wynika to sta↩d, ˙ze przekszta̷lcenie F −1
1 ◦ F2)(y)
tzn. F −1
1
i F −1
2
jest na ka˙zdej sk̷ladowej swej dziedziny przesunie ↩ ciem.
Bez dowodu podać wypada naste ↩ puja ↩ ce
Twierdzenie 16.5 (o orientowalno´sci rozmaito´sci kowymiaru 1 )
Je´sli M ⊆ R k jest (k − 1) –wymiarowa ↩ zwarta ↩ rozmaito´scia ↩ bez brzegu, to M jest
orientowalna.
Twierdzenie to podaje ↩ choć jego dowód wykracza znacznie ponad to, co jest
w stanie udowodnić teraz. W przyk̷ladach korzystać z niego nie be ↩ dziemy. Nied̷lugo
przekonamy sie ↩ o tym, ˙ze zarówno za̷lo˙zenie, ˙ze M jest bez brzegu jak i za̷lo˙zenie,
˙ze jest zwarta i jej kowymiar równy jest 1 , sa ↩ istotne. Po to, by wykazać nieoriento-
walno´sć jakiej´s rozmaito´sci, nale˙zy wykazać jakie´s twierdzenie, które to u̷latwi.
Lemat 16.6 (o mapach na rozmaito´sci orientowalnej)
Niech M be ↩ dzie m –wymiarowa ↩ rozmaito´scia ↩ zorientowana ↩ za pomoca ↩ atlasu A
i niech ϕ be ↩ dzie mapa ↩ , której dziedzina jest spójna. Niech σ be ↩ dzie symetria ↩ zdefi-
niowana ↩ wzorem σ(y) = (−y1, y2, y3, . . . , ym) i niech ˜ϕ = σ ◦ ϕ . Wtedy dok̷ladnie
jeden ze zbiorów zbiór A ∪ {ϕ} , A ∪ { ˜ϕ} te˙z jest atlasem definiuja ↩ cym orientacje ↩
4