Analiza matematyczna 2, Rozmaitosci z brzegiem, formy ró ...

Analiza matematyczna 2, Rozmaito´sci z brzegiem, formy ró˙zniczkowe
sie ↩ odpowiednio na F i H , a poza tym ka˙zda z nich jest dodatnia (istnienie takich
funkcji jest tre´scia ↩ twierdzenia o najpaskudniejszej poziomicy, z I semestru). Niech
α(x)
f(x) = α(x)+β(x) . Poniewa˙z α(x) + β(x) > 0 dla ka˙zdego x ∈ Rk , wie↩ c funkcja f
jest nieskończenie wiele razy ró˙zniczkowalna, a poniewa˙z β(x) = 0 dla x ∈ H , wie↩ c
f(x) = 1 dla x ∈ H . Dowód zosta̷l zakończony.
Zadanie 1. Udowodnić, ˙ze je´sli zbiory F, H ⊂ R k sa ↩ domknie ↩ te i roz̷la ↩ czne, to
istnieje taka nieskończenie wiele razy ró˙zniczkowalna funkcja f: R k −→ [0, 1] , ˙ze
f(x) = 0 ⇐⇒ x ∈ F oraz f(x) = 1 ⇐⇒ x ∈ H .
Definicja 16.22 (no´snika funkcji)
Je´sli f: X −→ R jest funkcja ↩ okre´slona ↩ na przestrzeni metrycznej X , to zbiór do-
mknie ↩ ty {x ∈ X : f(x) = 0} nazywamy no´snikiem funkcji f i oznaczamy symbolem
supp(f).*
Definicja 16.23 (rozk̷ladu jedno´sci wpisanego w rodzine ↩ )
Mówimy, ˙ze cia ↩ g funkcji α1 , α2 ,. . . , αn jest rozk̷ladem jedno´sci wpisanym w rodzine ↩
{Ui: i = 1, 2, . . . , n} wtedy i tylko wtedy, gdy suppαi ⊆ Ui dla i = 1, 2, . . . , n i dla
ka˙zdego x ∈ U1 ∪ U2 ∪ . . . ∪ Un zachodzi równo´sć α1(x) + α2(x) + · · · + αn(x) = 1 .
W zasadzie be ↩ dziemy wpisywać rozk̷lady jedno´sci w rodziny zbiorów otwartych.
Ogólnie nie wymaga sie ↩ skończono´sci rodziny, ale ograniczamy definicje do przypadku,
który wyste ↩ puje w dalszym cia ↩ gu.
Twierdzenie 16.24 (o istnieniu rozk̷ladów jedno´sci)
Dla ka˙zdej rodziny {U1, U2, . . . , Un} zbiorów otwartych w R k istnieje rozk̷lad jed-
no´sci klasy C ∞ w nia ↩ wpisany.
Dowód. Z lematu o wpisywaniu pokryć wynika, ˙ze istnieja ↩ takie zbiory otwarte
V1 , V2 , . . . , Vn , W1 , W2 , . . . , Wn , ˙ze V1 ∪ V2 ∪ . . . ∪ Vn = U1 ∪ U2 ∪ . . . ∪ Un oraz
Vi ⊆ Wi ⊆ Wi ⊆ Ui dla i ∈ {1, 2, . . . , n} . Niech βi be ↩ dzie funkcja ↩ klasy C ∞ ,
która jest równa 1 na zbiorze Vi i 0 poza zbiorem Wi — istnienie takiej funkcji
βi
wynika z lematu Urysohna dla funkcji g̷ladkich. Niech αi =
. Jasne jest,
β1+β2+·+βn
˙ze zdefiniowali´smy rozk̷lad jedno´sci wpisany w rodzine↩ {U1, U2, . . . , Un} .
Definicja 16.25 (funkcji g̷ladkich na rozmaito´sci)
Niech M, N be ↩ da ↩ rozmaito´sciami klasy C r , r ≥ 1 . Mówimy, ˙ze funkcja f: M −→ N
jest klasy C r wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka˙zdego punktu p ∈ M istnieja ↩ takie
* Od angielskiego s̷lowa support.
14