Analiza matematyczna 2, Rozmaitosci z brzegiem, formy ró ...

Analiza matematyczna 2, Rozmaito´sci z brzegiem, formy ró˙zniczkowe
gdy dla ka˙zdej mapy ϕ forma ϕ −1 ∗ (ω) jest klasy C r , ta ostatnia jest okre´slona na
otwartym podzbiorze R m , oczywi´scie aby wszystkie operacje mia̷ly sens nale˙zy ogra-
niczać dziedzine ↩ formy. Trzeba te˙z za̷lo˙zyć, ˙ze rozmaito´sć M oraz rozpatrywane mapy
sa ↩ klasy co najmniej C r+1 . Formy okre´slone na rozmaito´sciach niekoniecznie zanu-
rzonych w przestrzeni euklidesowej maja ↩ du˙ze znaczenie w geometrii ró˙zniczkowej
i wielu dzia̷lach analizy. W tym wyk̷ladzie wysta ↩ pia ↩ w jednym twierdzeniu.
Uwaga 16.28
Czytelnik mo˙ze rozszerzyć definicje ↩ ca̷lki z formy po ca̷lej rozmaito´sci i zdefiniować
ca̷lke ↩ z formy po jej otwartym podzbiorze. W naszym uje ↩ ciu to tylko kwestia istnienia
skończonego pokrycia dziedzinami map zbioru, po którym zamierzamy ca̷lkować.
Przyk̷lad 16.18 Niech ω(x, y, z) = xdy ∧ dz + y dz ∧ dx + z dx ∧ dy . Obliczymy
ca̷lke ↩ z tej formy po sferze jednostkowej S 2 , z̷lo˙zonej z tych punktów (x, y, z) , dla
których x 2 + y 2 + z 2 = 1 . Za̷ló˙zmy, ˙ze jest ona zorientowana w ten sposób, ˙ze
uporza ↩ dkowana para wektorów (e2, e3) , które sa ↩ styczne do sfery w punkcie (1, 0, 0) ,
jest zgodna z orientacja↩ . Niech (u, v) = ϕ(x, y, z) =
x y
1+z , 1+z . Oczywi´scie przekszta̷lcenie
ϕ jest klasy C∞ poza p̷laszczyzna↩ z = −1 , na której nie jest zdefi-
niowane. Jest niezdefiniowane tylko w jednym punkcie sfery, mianowicie w punkcie
(0, 0, −1) . Na sferze jest ró˙znowarto´sciowe. Dla dowodu wystarczy podać wzór na
przekszta̷lcenie odwrotne, co wymaga rozwia↩zania uk̷ladu równań:
⎧
⎨ x
⎩
2 + y2 + z2 = 1,
x
1+z = u,
= v.
y
1+z
Niewiadomymi sa ↩ tu x, y, z . Mamy 1 − z 2 = x 2 + y 2 = u 2 (1 + z) 2 + v 2 (1 + z) 2 ,
wie ↩ c 1 − z = (1 + z)(u 2 + v 2 ) . Sta ↩ d z = 1−u2 −v 2
x =
2u
1+u 2 +v 2 , y =
2v
1+u 2 +v 2 . Mo˙zemy napisać
(x, y, z) = ϕ −1 (u, v) =
Mamy wie ↩ c (bezmy´slne obliczenia)
(ϕ −1 ) ∗ (ω)(u, v) =
=
2u
+
1+u 2 +v 2
+ 2v
1+u 2 +v 2
+ 1−u2 −v 2
1+u 2 +v 2
2u
1+u2 +v2 d
2v
1+u2 +v2 d 1−u 2 −v 2
1+u2 +v2 2v
1+u 2 +v 2
∧ d
−4uv
(1+u2 +v2 ) 2 du + 2(1+u2−v 2 )
−4u
(1+u 2 +v 2 ) 2 du +
2(1−u 2 +v 2 )
(1+u 2 +v 2 ) 2 du +
1+u 2 +v 2 , zatem 1 + z =
2u
1+u 2 +v 2 ,
2 2
1−u −v ∧ d +
2u
1+u 2 +v 2
(1+u 2 +v 2 ) 2 dv ∧
1+u 2 +v 2
2v
1+u2 +v2 , 1−u2−v 2
1+u2 +v2
.
+ 1−u 2 −v 2
1+u 2 +v 2 d
−4u
(1+u 2 +v 2 ) 2 du +
−4v
(1+u2 +v2 ) 2 dv ∧ 2(1−u 2 +v 2 )
(1+u2 +v2 ) 2 du +
2u
1+u 2 +v 2
∧ d
2
1+u 2 +v 2 , wie ↩ c
2v
1+u 2 +v 2
−4v
(1+u 2 +v 2 ) 2 dv +
−4uv
(1+u 2 +v 2 ) 2 dv +
−4uv
(1+u2 +v2 ) 2 dv ∧
−4uv
(1+u2 +v2 ) 2 du + 2(1+u2−v 2 )
16
(1+u 2 +v 2 ) 2 dv =
=