Analiza matematyczna 2, Rozmaitosci z brzegiem, formy ró ...

Analiza matematyczna 2, Rozmaito´sci z brzegiem, formy ró˙zniczkowe
=
i M dαi ∧ ω +
i M αi dω =
M i dαi
ω + M i αi
dω = M dω
— ostatnia równo´sć wynika z tego, ˙ze
i αi(x) = 1 dla ka˙zdego x ∈ M .
Uwaga 16.34 W twietdzeniu za̷lo˙zyli´smy, ˙ze zbiór M jest rozmaito´scia ↩ z brzegiem.
W szczególno´sci „brzeg” jest rozmaito´scia ↩ (ju˙z bez brzegu). W rezultacie tak sformu-
̷lowane twierdzenie nie daje sie ↩ u˙zyć w ró˙znych, wa˙znych przypadkach, np. gdy M jest
prostoka ↩ tem, prostopad̷lo´scianem itp. W istocie rzeczy to za̷lo˙zennie jest zbyt mocne.
Mo˙zna dopu´scić rogi, za̷lamania, byle nie by̷lo ich zbyt du˙zo. Nale˙za̷loby jednak
wyja´snić, co to znaczy. Napisze ↩ nie wchodza ↩ c w szczegó̷ly. Nale˙zy zak̷ladać, ˙ze zbiór
M jest zwarty i po usunie ↩ ciu zbioru B , którego (m − 1) –wymiarowa miara Haus-
dorffa jest równa 0 , staje sie ↩ m –wymiarowa ↩ rozmaito´scia ↩ z (m − 1) –wymiarowym
brzegiem. Nale˙zy wyja´snić, co oznacza sformu̷lowanie „ (m − 1) –wymiarowa miara
Hausdorffa jest równa 0 ”. Otó˙z oznacza to, ˙ze dla ka˙zdej liczby ε > 0 istnieje taki
cia↩g kul B(p1, r1) , B(p2, r2) , . . . , ˙ze ∞ n=1 rm−1 i < ε oraz ∞ n=1 B(pn, rn) ⊇ B .
W szczególno´sci zbiór B mo˙ze być suma↩ przeliczalnie wielu rozmaito´sci wymiaru
mniejszego (ostro!) ni˙z m − 1 . Szczegó̷lowy dowód tej wersji twierdzenia znajda ↩
zainteresowani studenci w wielokrotnie polecanym podre ↩ czniku „Analiza matema-
tyczna” Andrzeja Birkholca. Mo˙zna te˙z znale´zć te ↩ wersje ↩ twierdzenia w monografii „
Geometric measure theory” Herberta Federera.
Najbardziej klasyczna wersja twierdzenia Stokesa to zapewne twierdzenie zwane
twierdzeniem Gaussa – Ostrogradzkiego wyste ↩ puja ↩ ca w wielu podre ↩ cznikach fizyki
(w dzia̷lach po´swie ↩ conych elektryczno´sci, magnetyzmowi). To bardzo szczególny przy-
padek: M ⊂ R3 , dimM = 3 . Wtedy wzór Stokesa wygla↩da tak:
∂P ∂Q ∂R
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy = ∂M
M ∂x + ∂y + ∂z dx ∧ dy ∧ dz .
Z definicji ca̷lki z formy wynika, ˙ze prawa strona jest równa
∂P ∂Q ∂R
M ∂x + ∂y + ∂z dℓ3 .
Przyjrzymy sie↩ lewej stronie. Za̷ló˙zmy, ˙ze brzeg M zosta̷l lokalnie sparametryzowany
zgodnie z orientacja ↩ . Oznacza to, ˙ze mo˙zemy potraktować zmienne x, y, z jako funk-
cje dwóch argumentów, np. u, v . Wtedy zachodza ↩ równo´sci
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy = P ∂y ∂y
∂u du + ∂v dv ∧ ∂z ∂z
∂u du + ∂v dv +
+ Q ∂z ∂z
∂u du + ∂v dv ∧ ∂x ∂x
∂u du + ∂v dv + R ∂x ∂x
∂u du + ∂v dv ∧ ∂y ∂y
∂u du + ∂v dv =
=
∂y ∂y
∂z ∂z ∂x ∂x
P ∂u ∂v
∂z ∂z + Q ∂u ∂v
∂x ∂x + R ∂u ∂v
∂y ∂y =
∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v
= [P, Q, R]·
∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
∂u , ∂u , ∂u × ∂v , ∂v , ∂v = [P, Q, R]·n· ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
∂u , ∂u , ∂u × ∂v , ∂v , .
∂v
Wektor n to jednostkowy wektor otrzymany przez podzielenie iloczynu wektorowego
∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
∂u , ∂u , ∂u × ∂v , ∂v , ∂v przez d̷lugo´sć tego iloczynu. Jest wie↩ c prostopad̷ly
20