Analiza matematyczna 2, Rozmaitosci z brzegiem, formy ró ...

Analiza matematyczna 2, Rozmaito´sci z brzegiem, formy ró˙zniczkowe
sadzie zwyk̷ly wzór na pochodna ↩ iloczynu uwzgle ↩ dniaja ↩ cy to, ˙ze mno˙zenie zewne ↩ trzne
przemienne nie jest.
Znaczenie w̷lasno´sci czwartej jest ogromne, ale niestety w analizie brak miejsca
na dok̷ladniejsze rozwa˙zania, czy choćby ilustracje. Powiedzmy tylko, ˙ze z tego wzoru
p̷lyna ↩ daleko ida ↩ ce wnioski dotycza ↩ ce struktury topologicznej dziedziny, na której
rozpatrywane sa ↩ formy ró˙zniczkowe zewne ↩ trzne.
Je´sli ϕ: G −→ H jest przekszta̷lceniem klasy C r i ω jest m –forma ↩ na H , to
mo˙zna okre´slić forme↩ ϕ∗ (ω) na zbiorze G za pomoca↩ wzoru
ϕ∗ (ω)(x)(v1, v2, . . . , vm) = ω ϕ(x)
Dϕ(x)v1, Dϕ(x)v2, . . . , Dϕ(x)vm .
Oczywi´scie na ogó̷l je´sli ω jest forma ↩ klasy C r , to ϕ ∗ (ω) jest forma ↩ klasy C r−1 .
Nie trzeba oczywi´scie zak̷ladać ró˙znowarto´sciowo´sci przekszta̷lcenia ϕ .
Mo˙zna ̷latwo sprawdzić, ˙ze spe̷lnione sa ↩ naste ↩ puja ↩ ce wzory:
1. ϕ ∗ (ω + η) = ϕ ∗ (ω) + ϕ ∗ (η) dla dowolnych m –form ω i η ;
2. ϕ ∗ (fω) = f ◦ ϕ · ϕ ∗ (ω) dla dowolnej m –formy ω i dowolnej funkcji ϕ ;
3. ϕ ∗ (ω∧η) = ϕ ∗ (ω)∧ϕ ∗ (η) dla dowolnej m –formy ω i dowolnej n –formy η ;
4. ϕ ∗ (dω) = d ϕ ∗ (ω) dla dowolnej m –formy ω i dowolnej funkcji ϕ
Przyk̷lad 16.17 Je´sli ϕ(α, β) = (cos α cos β, cos α sin β, sin α) oraz
ω(x, y, z) = xdy ∧ dz + y dz ∧ dx + z dx ∧ dy , to
ϕ ∗ (ω)(α, β) = cos α cos β d(cos α sin β)∧ d(sin β)+cos α sin β d(sin β)∧ d(cos α cos β)+
= cos α cos β(− sin α cos β dα + cos α cos β dβ) ∧ (cos αdα) +
+ cos α sin β(cos αdα) ∧ (− sin α cos β dα − cos α sin β dβ) +
+ sin αd(cos α cos β) ∧ d(cos α sin β) =
+ sin α − sin α cos β dα − cos α sin β dβ ∧ − sin α sin β dα + cos α cos β dβ =
= − cos 3 α cos 2 β − cos 3 α sin 2 β − sin 2 α cos α cos 2 β − sin 2 α cos α sin 2 β dα ∧ dβ =
= − cos αdα ∧ dβ = cos αdβ ∧ dα .
Formy ró˙zniczkowe mo˙zna ca̷lkować.
Definicja 16.17 (ca̷lki z k –formy na otwartym podzbiorze R k )
Je´sli ω(x) = ω1,2,...,k(x)dx1 ∧ dx2 ∧ . . . ∧ dxk dla x ∈ int G , to definiujemy
ω =
G
G ω1,2,...,k(x)dℓk(x) .
Je´sli (i1, i2, . . . , ik) jest permutacja ↩ liczb (1, 2, . . . , k) i dla ka˙zdego x ∈ G spe̷lniona
jest równo´sć η(x) = f(x)dxi1 ∧ dxi2 ∧ . . . ∧ dxik , to prawdziwy jest wzór
G η = sgn(i1, i2, . . . , ik)
G f(x)dℓk ,
tu symbol sgn(i1, i2, . . . , ik) oznacza znak permutacji (i1, i2, . . . , ik) .
Mówimy, ˙ze dyfeomorfizm ϕ: G −→ R k zachowuje orientacje ↩ wtedy i tylko wte-
12