Analiza matematyczna 2, Rozmaitosci z brzegiem, formy ró ...

Analiza matematyczna 2, Rozmaito´sci z brzegiem, formy ró˙zniczkowe
pewne nikt powa˙zny nie zajmowa̷lby sie ↩ tym problemem. Jednak okazuje sie ↩ , ˙ze to
uogólnienie jest bardzo owocne i upraszcza mówienie o wielu kwestiach z pogranicza
matematyki i fizyki. U̷latwia te˙z ˙zycie matematykom.
Najwa˙zniejsza ↩ cecha ↩ iloczynu wektorowego (i równie˙z wyznacznika) jest linio-
wo´sć ze wzgle ↩ du na ka˙zdy czynnik (ka˙zdy wiersz lub ka˙zda ↩ kolumne ↩ ) oraz antysyme-
tria. Antysymetria oznacza, ˙ze zamiana miejscami dwóch wektorów powoduje zmiane ↩
zwrotu iloczynu wektorowego (zamiana dwóch wierszy lub kolumn powoduje zmiane ↩
znaku wyznacznika).
Definicja 16.9 (formy m –liniowej antysymetrycznej)
Przekszta̷lcenie ω: V × V × V × . . . × V
m czynników
wamy forma ↩ antysymetryczna ↩ (zewne ↩ trzna ↩ ) stopnia m .
−→ R m -liniowe, antysymetryczne nazy-
Przyk̷lad 16.13 V = Rm
v1,1 v2,1 v3,1 . . . vm,1
v1,2 v2,2 v3,2 . . . vm,2
. ω(v1, v2, . . . , vm) =
. . . .
. . . ..
.
.
v1,m v2,m v3,m . . . vm,m
jest przyk̷ladem formy stopnia m na Rm . Jest jasne, ˙ze zbiór m –form na Rm ma
wymiar m
m = 1 , wie↩ c inne formy stopnia m otrzymujemy mno˙za↩c wyznacznik przez
sta̷la↩ .
Przyk̷lad 16.14 Niech w ∈ R m be ↩ dzie dowolnym ustalonym wektorem. Niech
ω(v1, v2, . . . , vm−1) be ↩ dzie wyznacznikiem macierzy której kolumnami sa ↩ kolejno
wektory w, v1, v2, . . . , vm−1 . Jasne jest, ˙ze zdefiniowali´smy forme ↩ stopnia m − 1 na
R m . Je´sli m = 3 , to forme ↩ te ↩ mo˙zna zdefiniować jako w · (v1 × v2) , czyli iloczyn
skalarny wektora w i iloczynu wektorowego wektorów v1 i v2 .
Definicja 16.10 (bazowych form zewne ↩ trznych)
Okre´slimy pewna ↩ forme ↩ stopnia m na R k . Za̷ló˙zmy, ˙ze i1 < i2 < . . . < im zosta̷ly
wybrane spo´sród 1, 2, . . . , k . Niech
ωi1,i2,...,im (v1,
v1,i1
v1,i2
v2, . . . , vm) =
.
v1,im
v2,i1
v2,i2
.
v2,im
. . .
. . .
. ..
. . .
vm,i1
vm,i2
. .
.
vm,im
Mo˙zna na to spojrzeć tak: rzutujemy wektory v1 , v2 , . . . , vm na podprzestrzeń
wyznaczona ↩ przez wektory ei1 , ei2 , . . . , eim i obliczmy ± obje ↩ to´sć (miare ↩
m –wy-
miarowa ↩ ) równoleg̷lo´scianu rozpie ↩ tego przez te rzuty. Dzie ↩ ki wyborowi znaku otrzy-
8