Analiza matematyczna 2, Rozmaitosci z brzegiem, formy ró ...

Analiza matematyczna 2, Rozmaito´sci z brzegiem, formy ró˙zniczkowe
dentów II roku nie zna odpowiednio zaawansowanych twierdzeń topologicznych, wie ↩ c
nie wnikamy tu w te kwestie).
Jasne jest te˙z, ze ka˙zda rozmaito´sć bez brzegu jest te˙z rozmaito´scia ↩ z brzegiem
(pustym), bo otwarte podzbiory R m mo˙zna potraktować jako otwarte podzbiory
R m + , bo przekszta̷lcenie
(x1, x2, x3 . . . , xm) −→ (e x1 , x2, x3 . . . , xm)
jest dyfeomorfizmem ca̷lej przestrzeni R m na otwarty podzbiór R m + , który jest te˙z
otwartym podzbiorem R m . Istnieja ↩ jednak rozmaito´sci z brzegiem niepustym.
Przyk̷lad 16.1 Ko̷lo domknie ↩ te, czyli zbiór {(x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1} .
Przyk̷lad 16.2 Domknie ↩ ty pier´scień ko̷lowy, czyli np. zbiór
oczywi´scie promienie moga ↩ być inne.
{(x, y) ∈ R 2 : 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 10} ,
Przyk̷lad 16.3 Pier´scień ko̷lowy, nieca̷lkiem domknie ↩ ty, czyli np. zbiór
{(x, y) ∈ R 2 : 1 < x 2 + y 2 ≤ 10} .
Przyk̷lad 16.4 Pe̷lny torus, czyli zbiór powsta̷ly w wyniku obrotu ko̷la domknie ↩ te-
go wokó̷l prostej, która le˙zy w p̷laszczy´znie obracanego ko̷la i która tego ko̷la nie prze-
cina. Je´sli np. obracamy ko̷lo o promieniu 1 i ´srodku (2, 0, 0) , le˙za ↩ ce w p̷laszczy´znie
y = 0 wokó̷l osi OZ , to otrzymujemy zbiór z̷lo˙zony ze wszystkich punktów (x, y, z) ,
dla których zachodzi nierówno´sć
2x 2
x − √ 2y 2
+ y − √ 2 + z ≤ 1 ,
x2 +y2 x2 +y2 która ↩ mo˙zna przepisać tak:
(x 2 + y 2 + z 2 + 3) 2 ≤ 16(x 2 + y 2 ) .
Widzimy wie ↩ c, ˙ze niektóre rozmaito´sci z brzegiem mo˙zna opisać nierówno´sciami. Za-
che ↩ cam do sformu̷lowania twierdzenia analogicznego do tego, które pozwala̷lo rozma-
ito´sć bez brzegu traktować, przynajmniej lokalnie jako rozwia ↩ zanie uk̷ladu równań.
Teraz mo˙ze to być nierówno´sć i równania.
Przyk̷lad 16.5 Rozwa˙zymy przekszta̷lcenie F : R × [−1, 1] −→ R 3 zdefiniowane
wzorem F (α, t) = (2 + t sin α) cos(2α), (2 + t sin α) sin(2α), t cos α . Obraz prze-
kszta̷lcenia F , czyli zbiór M := F R × [−1, 1] jest dwuwymiarowa ↩ rozmaito´scia ↩
zanurzona ↩ w R 3 . Ta rozmaito´sć to tzw. wste ↩ ga Möbiusa. Jej brzeg jest spójny, jest
homeomorficzny z okre ↩ giem.
Przyk̷lad 16.6 Kwadrat (x, y): |x|, |y| ≤ 1 rozmaito´scia ↩ z brzegiem nie jest.
2