5. loeng Lokaalsed ekstreemumid.

Lokaalsed ekstreemumid 

Definitsioon 1 (Lokaalne maksimum) 

Diferentsiaalarvutus Lokaalse ekstreemumi tarvilikud ja piisavad tingimused 

Olgu funktsioon f määratud punkti A mingis ümbruses Uε(A). Kui iga 

punkti P ∈ Uε(A) (P = A) korral f (P) f (A), siis on funktsioonil f 

punktis A lokaalne maksimum. 

Definitsioon 2 (Lokaalne miinimum) 

Olgu funktsioon f määratud punkti A mingis ümbruses Uε(A). Kui iga 

punkti P ∈ Uε(A) (P = A) korral f (P) f (A), siis on funktsioonil f 

punktis A lokaalne miinimum. 

Kui eelnevates definitsioonides kasutada rangeid võrratusi f (P) < f (A) 

ja f (P) > f (A), siis saame vastavalt range lokaalse maksimumi ja 

miinimumi definitsioonid. 

G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 1 / 25

z = f (x, y) = −(x 2 + y 2 ) 

Range lokaalne maksimum 

punktis A(0, 0). Tõepoolest, kuna 

f (A) = 0 ning f (P) = f (x, y) < 0 

kui P = A. Seega f (P) < f (A) 

iga P = A korral. 


z = f (x, y) = −x 2 

Antud juhul on tegemist olukorraga 

kus kõikide punktide A(0, y) 

korral on rahuldatud tingimus 

f (P) f (A) iga P = A korral. 

Seega on kõikides sirge x = 0 

punktides lokaalne maksimum. 



z = f (x, y) = sinc(x 2 + y 2 ) = sin π(x 2 + y 2 ) 

π(x 2 + y 2 ) 

Punktis A(0, 0) on range lokaalne maksimum. 

Ringjoone x 2 + y 2 = (1.19 . . .) 2 punktides on lokaalne miinimum. 

Ringjoone x 2 + y 2 = (1.56 . . .) 2 punktides lokaalne maksimum. 

Ringjoone x 2 + y 2 = (1.86 . . .) 2 punktides lokaalne miinimum. 


Gradient 

Definitsioon 3 


Funktsiooni u = f (x1, . . . , xn) gradiendiks punktis P(x1, . . . , xn) 

nimetatkse selle funktsiooni osatuletistest koosnevat vektorit 

 

∂f 

(grad f )(P) = (P), 

∂x1 

∂f 

(P), . . . , 

∂x2 

∂f 

 

(P) . 

∂xn 


Hamiltoni operaatoriks ehk nablaoperaatoriks nimetatkse operaatorit 

 

∂ 

∇ := , 

∂x1 

∂ 

, . . . , 

∂x2 

∂ 

 

∂xn 

Seega grad f = ∇f 


Statsionaarsed punktid 


Punkti, milles on täidetud tingimused 


fx (x1, . . . , xn) = i ∂f 

(x1, . . . , xn) = 0, i = 1, . . . , n 

∂xi nimetatakse funktsiooni u = f (x1, . . . , xn) statsionaarseks punktiks. 

Seega statsionaarses punktis P on gradient nullvektor: (∇f )(P) = 0. 


Punkti P, milles funktsiooni u = f (x1, . . . , xn) kõik eksisteerivad 

osatuletised fx i võrduvad nulliga nimetatakse selle funktsiooni 

kriitiliseks punktiks. 

Lokaalsed ekstreemumid võivad esineda funktsiooni f kriitilistes 

punktides. 


z = f (x, y) = −(x 2 + y 2 ) 

Statsionaarne punkt P(0, 0). 

fx(x, y) = −2x = 0 

fy(x, y) = −2y = 0 


 

z = f (x, y) = − x 2 + y 2 

Kriitiline punkt P(0, 0). 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

fx(x, y) = − x √ 

x 2 +y 2 

fy(x, y) = − y √ 

x 2 +y 2 



Lokaalse ekstreemumi tarvilikud tingimused 

Lause 1 (Lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus) 

Olgu funktsioonil f punktis A(a1, . . . , an) lokaalne ekstreemum ning 

eksisteerigu gradient (∇f )(A). Siis A on funktsiooni f statsionaarne 

punkt st (∇f )(A) = 0. 


Tõestus. 


Vaatame mingi i ∈ {1, . . . , n} korral abifunktsiooni 

g(x i) := f (a1, . . . , a i−1, x i, a i+1, . . . , an). Oletame, et meil on tegemist 

lokaalse maksimumiga. Vastavalt lokaalse ekstreemumi definitsioonile 

leidub selline punkti A ümbrus Uε(A), et f (P) f (A) iga P ∈ Uε(A) 

korral. Seega g(x i) g(a i), st ühe muutuja funktsioonil g on lokaalne 

maksimum kohal a i. Vastavalt ühe muutuja juhul tõestatud teoreemile: 

kui eksisteerib g ′ (x i), siis g ′ (x i) = 0. Kuna gradient eksisteerib punktis 

A, siis eksisteerivad ka kõik osatuletised selles punktis. Ilmselt 

g ′ (x i) = fx i (a1, . . . , a i−1, x i, a i+1, . . . , an). 

Seega g ′ (a i) = 0, millest järeldub, et fx i (A) = 0. Kui on tegemist 

lokaalse miinimumiga, kasutame sama skeemi. Kordame tehnikat iga 

i ∈ {1, . . . , n} korral ning saame (∇f )(A) = 0. 


z = f (x, y) = −(x 2 + y 2 ) 

Lokaalne maksimum statsionaarses 

punktis P(0, 0). 

fx(x, y) = −2x = 0 

fy(x, y) = −2y = 0 


z = f (x, y) = x 2 − y 2 

Lokaalsed ekstreemumid puuduvad. 

Statsionaarne punkt P(0, 0). 

fx(x, y) = 2x = 0 

fy(x, y) = −2y = 0 



Lokaalse ekstreemumi piisavad tingimused. z=f(x,y) 

Lokaalse ekstreemumi piisavad tingimused antakse tavaliselt teist 

järku tuletiste abil. Selliseid tingimusi nimetatakse ka teist järku 

tingimusteks (ingl. second order conditions), eristamaks neid esimest 

järku tarvilikest tingimustest. 

Olgu funktsioonil f (x, y) punktis P(x, y) lokaalne ekstreemum. Mingi 

piisavalt väikese muudu (∆x, ∆y) jaoks saame lokaalse maksimumi 

korral f (x + ∆x, y + ∆y) f (x, y) st ∆f 0 ja lokaalse miinimumi 

korral f (x + ∆x, y + ∆y) f (x, y) st ∆f 0. 

Kaks korda pidevalt diferentseeruva funktsiooni korral saame kirja 

panna Taylori valemi: 

f (x + ∆x, y + ∆y) = f (x, y) + fx(x, y)∆x + fy(x, y)∆y + R1(x, y). 

Kuna P(x, y) on statsionaarne punkt, siis saame 

2∆f = 2R1(x, y) = fxx(Q)(∆x) 2 + 2fxy(Q)∆x∆y + fyy(Q)(∆y) 2 

kus Q(x + θ∆x, y + θ∆y), 0 < θ < 1. 


Uurime avaldise 


α(Q) := fxx(Q)(∆x) 2 + 2fxy(Q)∆x∆y + fyy(Q)(∆y) 2 

märgi sõltuvust muudust (∆x, ∆y). Piisavalt väikese muudu (∆x, ∆y) 

korral võime eeldada, et avaldis α on sama märgiga argumentide 

P(x, y) ja Q(x + θ∆x, y + θ∆y) korral. Järgnevas vaatamegi osatuletisi 

kohal P(x, y). Kui fxx(P) = 0, siis saab avaldis omandada nii positiivse 

kui ka negatiivse märgi. Seega võime eeldada, et fxx(P) = 0: 

 

α = fxx (∆x) 2 + 2 fxy 

∆x∆y + 

fxx 

fyy 

fxx 

 

= fxx 

(∆x) 2 + 2 fxy 

∆x∆y + 

fxx 

= fxx 

(∆y) 2 

 

= 

2 fxy 

∆y 

fxx 

∆x + fxy 

∆y 

fxx 

2 fxy 

− ∆y 

fxx 

2 

+ fyy 

(∆y) 

fxx 

2 

+ fxxfyy − f 2 xy 

f 2 (∆y) 

xx 

2 


Saime 


α = fxx ∆x + fxy 

∆y 

fxx 

Kuna 

2 

∆x + fxy 

∆y 

fxx 

+ fxxfyy − f 2 xy 

f 2 (∆y) 

xx 

2 

2 

0, 

siis avaldis α säilitab märki iga piisavalt väikese muudu (∆x, ∆y) 

korral juhul kui 

fxxfyy − f 2 xy > 0. 

Tõepoolest, kui fxxfyy − f 2 xy = 0, siis võib esineda juhtum α = 0, mis ei 

anna infot ∆f märgi kohta. Kui fxxfyy − f 2 xy < 0, siis teatud muudu 

(∆x, ∆y) väärtuste korral me saame positiivse α, teatud väärtuste 

korral negatiivse. Vormistame tulemuse. 



Lause 2 (Lokaalse ekstreemumi piisavad tingimused) 

Kui funktsiooni z = f (x, y) osatuletised fxx, fxy ja fyy on pidevad selle 

funktsiooni statsionaarses punktis S(a, b), siis 

fxx(a, b)fyy(a, b) − f 2 xy(a, b) < 0 ⇒ punktis S(a, b) ei ole lokaalset 

ekstreemumit, 

fxx(a, b)fyy(a, b) − f 2 xy(a, b) > 0 ∧ fxx(a, b) < 0 ⇒ punktis S(a, b) 

on lokaalne maksimum, 

fxx(a, b)fyy(a, b) − f 2 xy(a, b) > 0 ∧ fxx(a, b) > 0 ⇒ punktis S(a, b) 

on lokaalne miinimum. 



Vaatame determinanti 

 

 

|H| := 

fxx(a, 

 

b) fyx(a, b) 

 

fxy(a, b) fyy(a, b) = fxx(a, b)fyy(a, b) − fxy(a, b)fyx(a, b) 

Vastavat maatriksit nimetame Hesse maatriksiks ehk hessiaaniks. 

Nablaoperaatorit kasutades saame hessiaani esitada kujul 

(Hf )(A) := (∇ T 

 

∂ ∂ 

∇f )(A) = 

∂x ∂y f (a, b) 

Lisaks sellele saame 

 

∆x 

∆x ∆y (Hf ) 

∆y 

 

= 

∂ 

∂x 

∂ 

∂y 

= fxx(x, y)(∆x) 2 + 2fxy(x, y)∆x∆y + fyy(x, y)(∆y) 2 



Hessiaan n muutuja funktsiooni korral on kujul 

(Hf )(P) := (∇ T ⎛ 

fx1x1 (P) 

⎜ fx2x1 ⎜ (P) 

∇f )(P) = ⎜ 

⎝ . 

fx1x2 (P) 

fx2x2 (P) 

. 

· · · 

· · · 

. .. 

⎞ 

fx1xn(P) 

fx2xn(P) ⎟ 

. ⎠ 

(P) fxnx2 (P) · · · fxnxn(P) 

fxnx1 

Tähistades muutu ∆x = (∆x1, . . . , ∆xn), arvutame punktis 

P(x1, . . . , xn) 

kus 

∆x T (Hf )(P)∆x = 

d j f (P) := 

n 

i=1 j=1 

n 

n 

fxi x (P)∆x j i∆xj = d 2 f (P) 

∂ 

∆xi ∂xi i=1 

j 

f (P). 



Positiivselt ja negatiivselt määratud maatriksid 


Maatriksit H nimetatakse rangelt positiivselt (negatiivselt) määratuks 

kui iga vektori x = 0 korral x T Hx > 0 (x T Ax < 0). 

Range positiivse (negatiivse) määratuse kontrolliks sobib 

Lause 3 (Silwesteri kriteerium) 

Maatriks H ∈ R n×n on rangelt positiivselt määratud parajasti siis, kui 

kõik tema peamiinorid |H i| > 0 (i = 1, . . . , n). Maatriks H ∈ R n×n on 

rangelt negatiivselt määratud parajasti siis, kui kõik tema peamiinorid 

(−1) i |H i| > 0 (i = 1, . . . , n). 



Lause 4 (Lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus) 

Olgu funktsioon f määratud oma statsionaarse punkti S (st 

(∇f )(S) = 0) mingis ümbruses Uε(S) ning eksisteerigu hessiaan 

(Hf )(S) := (∇ T ∇f )(S) (st eksisteerivad pidevad osatuletised fx i ,x j (S), 

i, j = 1, . . . , n). Siis 

funktsoonil f on lokaalne maksimum kohal S kui hessiaan (Hf )(S) 

on rangelt negatiivselt määratud; 

funktsoonil f on lokaalne miinimum kohal S kui hessiaan (Hf )(S) 

on rangelt positiivselt määratud; 

funktsoonil f ei ole lokaalset ekstreemumit kohal S kui hessiaan 

(Hf )(S) ei ole määratud; 

kui hessiaan (Hf )(S) on mitterangelt positiivselt või negatiivselt 

määratud tuleb kasutada muid tingimusi; 


Tõestuse idee. 


Punktis S(x1, . . . , xn) 2 korda pidevalt diferentseeruv funktsioon on 

esitatav Taylori valemiga 

f (x + ∆x) = f (x) + df (x) + 1 

2 d 2 

f (x) + o (∆x2) 2 

Kui on tegemist statsionaarse punktiga, siis df (x) = 0 ning funktsiooni 

muut avaldub kujul 

Kuna 

∆f = 1 

2 d 2 

f (x) + o (∆x2) 2 

. 

d 2 f (x) = ∆x T (Hf )(S)∆x 

siis hessiaani range positiivne (negatiivne) määratus tähendab seda, 

et ∆f > 0 (∆f < 0). 



Teoreem ekstreemumi piisavatest tingimustest 

Lause 5 (E.Pais, 2008) 

Olgu punkt A(a1, . . . , an) funktsiooni u = f (x1, . . . , xn) kriitiline punkt, 

milles f esimest järku osatuletised on kas nullid või ei eksisteeri. 

Vaatleme funktsiooni f tuletist punktis P(x1, . . . , x2) vektori s = AP 

suunas. 

1 Kui leidub selline punkti A ümbrus Uε(A), milles: 

fs(P) > 0 iga P ∈ Uε(A) korral, siis A on miinimumkoht; 

fs(P) < 0 iga P ∈ Uε(A) korral, siis A on maksimumkoht; 

2 Punkt A ei ole ekstreemumkoht, kui mis tahes ümbrus Uε(A) 

sisaldab nii punkte milles tuletis fs on positiivne kui ka punkte, 

milles see on negatiivne. 


Tinglik ekstreemum 

Diferentsiaalarvutus Tinglik ekstreemum 

Tingliku eksteemumi ülesandeks ehk lisatingimustega 

ekstreemumülesandeks nimetame ülesannet kujul 

Leida funktsiooni 

u = f (x1, . . . , xn) 

ekstreemumpunktid piirkonnas, mis on määratud tingimustega (r < n) 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

F1(x1, . . . , xn) = 0 

F2(x1, . . . , xn) = 0 

· · · 

Fr (x1, . . . , xn) = 0 



Tinglik lokaalne ekstreemum 


Olgu funktsioon f määratud punkti A mingis ümbruses Uε(A) ning olgu 

antud lisatingimused 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

F1(x1, . . . , xn) = 0 

F2(x1, . . . , xn) = 0 

· · · 

Fr (x1, . . . , xn) = 0 

Kui iga punkti P ∈ Uε(A) (P = A) korral f (P) f (A) (f (P) f (A)) ning 

F1(A) = F2(A) = . . . = Fr (A) = 0, siis on funktsioonil f punktis A tinglik 

lokaalne maksimum (miinimum). 



Lagrange’ määramata kordajate meetod 

Lause 6 

Funktsiooni f (x, y) tinglik ekstreemum lisatingimusel F(x, y) = 0 võib 

olla abifunktsiooni 

statsionaarsetes punktides. 

Φ(x, y; λ) = f (x, y) + λF(x, y) 



Lagrange’ määramata kordajate meetod 

Lause 7 

Funktsiooni f (x1, . . . , xn) tinglik ekstreemum lisatingimustel 

võib olla abifunktsiooni 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

F1(x1, . . . , xn) = 0 

F2(x1, . . . , xn) = 0 

· · · 

Fr (x1, . . . , xn) = 0 

Φ(x1, . . . , xn; λ1, . . . , λr ) = f (x1, . . . , xn) + 

statsionaarsetes punktides. 

r 

λiFi(x1, . . . , xn) 

G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 23 / 25 

i=1

Globaalne ekstreemum 


Diferentsiaalarvutus Globaalne ekstreemum 

Hulka nimetatakse sidusaks, kui selle hulga iga kaks punkti saab 

ühendada sellesse hulka kuuluva joonega. 

Lause 8 (Weierstrassi teoreem funktsiooni tõkestatusest) 

Tõkestatud kinnisel sidusal hulgal Ω ⊂ R n pidev n muutuja funktsioon f 

on selles hulgas tõkestatud, s.t. 

∃M > 0 . . . |f (x)| < M ∀x ∈ Ω 

Lause 9 (Weierstrassi teoreem funktsiooni ekstremaalsetest 

väärtustest) 

Tõkestatud kinnisel sidusal hulgal Ω ⊂ R n pidev n muutuja funktsioon f 

saavutab sellel hulgal oma suurima ja vähima väärtuse. 


Diferentsiaalarvutus Globaalne ekstreemum 

Globaalse ekstreemumi ülesande korral on vaja leida funktsiooni 

f (x, y) suurim ja vähim väärtus antud piirkonnas Ω. Seda tüüpi 

ülesannete lahenduskäik koosneb reeglina kolmest osast: 

1 Leiame esialgse funktsiooni f (x, y) statsionaarsed punktid. 

2 Lahendame tingliku ekstreemumi ülesande(d) piirkonna Ω 

rajajoonel ∂Ω: st leiame vastavate Lagrange’i funktsiooni(de) 

Φ(x, y, λ) := f (x, y) + λF(x, y) statsionaarsed punktid. 

3 Arvutame funktsiooni z = f (x, y) väärtused f (x, y) 

statsionaarsetes punktides, mis jäävad piirkonda Ω ning 

rajajoontel saadud Lagrange’ funktsiooni(de) statsionaarsetes 

punktides, mitmest osast koosneva rajajoone korral ka vastavate 

osade otspunktides.

5. loeng Lokaalsed ekstreemumid.

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?