2. loeng Osatuletised. - Tallinna Tehnikaülikool

YMM3740 Matemaatilne analüüs II 

Gert Tamberg 

Matemaatikainstituut 

Tallinna Tehnikaülikool 

gtamberg@staff.ttu.ee 

http://staff.ttu.ee/˜gtamberg 

G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 1 / 26

Sisu 

1 Diferentsiaalarvutus 

2 Ridade teooria 

3 Integraalarvutus 


Diferentsiaalarvutus 

Mitme muutuja funktsioon 

Funktsiooni piirväärtus ja pidevus 

Funktsiooni osatuletised 

Funktsiooni täisdiferentsiaalid ja nende rakendused 

Liitfunktsiooni osatuletised 

Ilmutamata funktsiooni osatuletised 

Pinna puutujatasand ja normaalsirge 

Taylori valem 

Lokaalse ekstreemumi tarvilikud ja piisavad tingimused 

Tinglik ekstreemum 

Globaalne ekstreemum 

Väljateooria põhimõisted 


Ridade teooria 

Arvread 

Positiivsete arvridade võrdlustunnused 

D’Alembert’i tunnus 

Cauchy tunnus 

Integraaltunnus 

Leibnizi tunnus 

Funktsionaalread 

Astmeread 

Abeli teoreem 

Taylori rida 

Astmeridade rakendused 

Ortogonaalsed polünoomid 

Fourier’ rida ortogonaalse süsteemi järgi 

Besseli võrratus ja Parsevali võrdus 

Fourier’ rida trigonomeetrilise süsteemi järgi 

Fourier’ teisendus 


Integraalarvutus 

Kahekordne integraal. Arvutamine rist- ja polaarkoordinaatides 

Kolmekordne integraal. Arvutamine rist- ja silinder- ja 

sfäärkoordinaatides 

Kordsete integraalide rakendused 

Esimest ja teist liiki joonintegraalid 

Greeni valem 

Joonintegraalide rakendused 

Esimest ja teist liiki pindintegraalid 

Gaussi valem 

Stokes’i valem 


Kirjandus 

Tammeraid I. Matemaatiline analüüs II. Tallinn, TTÜ kirjastus, 

2003. 

Piskunov N. S. Diferentsiaal- ja integraalarvutus II. Tallinn, Valgus, 

1966. 

Kangro G. Matemaatiline analüüs II. Tallinn, Valgus, 1968. 

Lõhmus A., Petersen I., Roos H. Kõrgema matemaatika 

ülesannete kogu. Tallinn, Valgus, 1982. 

Reimers E. Matemaatilise analüüsi praktikum II. Tallinn, Valgus, 

1988. 

Ruustal E. Matemaatiline analüüs II. Harjutused. Tallinn, TTÜ 

kirjastus, 1994. 


Diferentsiaalarvutus Mitme muutuja funktsioon 

Aritmeetilise punktiruumi Rn elememendid on punktid 

P(x1, . . . , xn) ∈ Rn. Aritmeetilses punktiruumis on defineeritud kahe 

punkti P ja Q vaheline kaugus (meetrika) 

 

d(P, Q) := (y1 − x1) 2 + . . . + (y1 − x1) 2 . 

Aritmeetilse vektorruumi R n elemendid on vektorid x = (x1, . . . , xn). 

Aritmeetilises vektorruumis on defineeritud 

kahe vektori x ja y ∈ R n skalaarkorrutis 〈x, y〉 := x1y1 + . . . + xnyn; 

vektori x ∈ R n norm x2 := 〈x, x〉; 

kahe vektori x ja y ∈ R n vaheline kaugus 

d(x, y) := y − x2 = (y1 − x1) 2 + . . . + (y1 − x1) 2 . 


n-muutuja funktsioon 

Definitsioon 1 


Kui hulga Ω ⊂ Rn igale punktile P(x1, . . . , xn) on vastavusse seatud 

muutuja u ∈ R kindel väärtus, siis öeldakse, et hulgal Ω on defineeritud 

n-muutuja (skalaarväärtusega) funktsioon. 

Seda fakti tähistatakse u = f (x1, . . . , xn) või lühidalt u = f (P) ehk 

f : Rn −→ R 

P f 

↦−→ u. 

Et järjend (x1, . . . , xn) määrab ära vektori x = (x1, . . . , xn), siis on 

mõningatel juhtudel otstarbekas kõnelda vektorargumendi x 

skalaarväärtusega funktsioonist u = f (x). 


n-muutuja funktsioon 



Kui hulga Ω ⊂ Rn igale punktile P(x1, . . . , xn) on vastavusse seatud 

muutuja u ∈ R kindel väärtus, siis öeldakse, et hulgal Ω on defineeritud 

n-muutuja (skalaarväärtusega) funktsioon. 

Seda fakti tähistatakse u = f (x1, . . . , xn) või lühidalt u = f (P) ehk 

f : Rn −→ R 

P f 

↦−→ u. 

Et järjend (x1, . . . , xn) määrab ära vektori x = (x1, . . . , xn), siis on 

mõningatel juhtudel otstarbekas kõnelda vektorargumendi x 

skalaarväärtusega funktsioonist u = f (x). 




Hulka {(x1, . . . , xn, u)|((x1, . . . , xn) ∈ Ω) ∧ u = f (x1, . . . , xn)} ⊂ Rn+1 

nimetatakse funktsiooni graafikuks. 


Funktsiooni piirväärtus 


Diferentsiaalarvutus Funktsiooni piirväärtus ja pidevus 

Hulka Uε(P) = {Q ∈ Rn|d(P, Q) < ε} nimetatakse punkti P ∈ Rn 

ε-ümbruseks. 


Arvu c nimetatakse funktsiooni u = f (x1, . . . , xn) piirväärtuseks punktis 

A(a1, . . . , an), kui iga ε > 0 korral leidub selline δ > 0, et iga P ∈ Uδ(A), 

kus P = A, korral |f (P) − c| < ε (f (P) ∈ Uε(c)). 

Kasutatakse tähistust 

lim f (P) = c. 

P→A 


Pidevus 



Funktsiooni u = f (x1, . . . , xn) nimetatakse pidevaks punktis 

A(a1, . . . , an), kui 

lim f (P) = f (A), 

P→A 

st on täidetud kolm tingimust: 

1 ∃f (A); 

2 ∃ lim 

P→A f (P); 

3 lim 

P→A f (P) = f (A). 


Funktsiooni u = f (x1, . . . , xn) nimetatakse pidevaks piirkonnas 

Ω0 ⊆ Ω ⊆ Rn, kui see funktsioon on pidev piirkonna Ω0 igas punktis. 


Pidevus 



Funktsiooni u = f (x1, . . . , xn) nimetatakse pidevaks punktis 

A(a1, . . . , an), kui 

lim f (P) = f (A), 

P→A 

st on täidetud kolm tingimust: 

1 ∃f (A); 

2 ∃ lim 

P→A f (P); 

3 lim 

P→A f (P) = f (A). 


Funktsiooni u = f (x1, . . . , xn) nimetatakse pidevaks piirkonnas 

Ω0 ⊆ Ω ⊆ Rn, kui see funktsioon on pidev piirkonna Ω0 igas punktis. 



Lause 1 (Bolzano-Cauchy teoreem vahepealsetest väärtustest) 

Olgu funktsioon määratud ja pidev mingis sidusas piirkonnas 

Ω0 ⊆ Ω ⊆ Rn. Kui funktsiooni väärtused punktides P, Q ∈ Ω0 on 

vastavalt a = f (P) ja b = f (Q), siis see funktsioon omandab selles 

piirkonnas kõik väärtused u ∈ [a, b]. 

Tõestus. 

Vaatame mingit joont Γ, mis ühendab punkte P ja Q ning mille kõik 

punktid kuuluvad piirkonda Ω0 (leidub sidusa piirkonna Ω0 korral). 

Parametriseerime joone, esitades x i = x i(t) (i ∈ 1, . . . , n). Joonel Γ 

saame n-muutuja funktsiooni asemel ühe muutuja t funktsiooni 

f (x1(t), . . . , xn(t)), mille korral vastav lause on tõestatud. 


Funktsiooni osatuletised 

Diferentsiaalarvutus Funktsiooni osatuletised 

Vaatame funktsiooni u = f (x1, . . . , xn) punktis P(x1, . . . , xn). Anname 

argumendile x j (j ∈ 1, . . . , n) muudu ∆x i. Tähistame muutu 

∆∆x j u := f (x1, . . . , x j−1, x j + ∆x j, x j+1, . . . , xn)− 


− f (x1, . . . , x j−1, x j, x j+1, . . . , xn) 

∆∆x j u 

Kui eksisteerib piirväärtus lim∆xj →0 ∆x , siis seda piirväärtust 

j 

nimetatakse funktsiooni u = f (x1, . . . , xn) osatuletiseks punktis 

P(x1, . . . , xn) muutuja xj (j ∈ 1, . . . , n) järgi ja tähistatakse 

fx j (P) ≡ ∂f (x1, . . . , xn) 

∂x j 

:= lim 

∆x j →0 

∆∆x j u 

∆x j 

G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 13 / 26 

.


Järeldus 1 (Tammeraid, Järeldus 1.3.1) 

Osatuletise võtmisel mitme muutuja funktsioonist f muutuja x j järgi 

võetakse selle muutuja järgi tavaline tuletis, kusjuures selle funktsiooni 

teisi muutujaid käsitletakse kui konstante. 


Kui tegemist on kahe muutuja funktsiooniga z = f (x, y), siis 

fx(x, y) ≡ ∂z 

∂x 

fy(x, y) ≡ ∂z 

∂y 

= lim 

∆x→0 

= lim 

∆y→0 

f (x + ∆x, y) − f (x, y) 

, 

∆x 

f (x, y + ∆y) − f (x, y) 

. 

∆y 



Leiame kahe muutuja funktsiooni tuletised fx ja fy 




Kui hulgal Ω määratud funktsioonil u = f (P) eksisteerib osatuletis ux i 

hulga Ω0 ⊆ Ω igas punktis, siis see osatuletis ux i kujutab endast hulgal 

Ω0 määratud funktsiooni. 

Seega n-muutuja funktsiooni osatuletised on n-muutuja funktsioonid 

millest võime võtta osatuletisi muutuja x k (k ∈ 1, . . . , n) järgi: 

fx j x k (P) ≡ ∂2 f (P) 

∂x j∂x k 

:= ∂ 

∂x k 

 

∂f (P) 

Saadud tulemust nimetame teist järku osatuletiseks. Nii saame 

defineerida ka kõrgemat järku osatuletised. 

G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 16 / 26 

∂x j

Lause 2 (Segaosatuletiste võrdsus) 


Kui funktsiooni f (x, y) segaosatuletised fxy ja fyx on pidevad 

funktsioonid mingis punktis P(x, y), siis 

Tõestus. 

fxy(x, y) = fyx(x, y). 

ω := f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y + ∆y) − f (x + ∆x, y) + f (x, y) 

ϕ(x, y) := f (x, y + ∆y) − f (x, y) ψ(x, y) := f (x + ∆x, y) − f (x, y) 

Kasutame Lagrange’ keskväärtusteoreemi θ1, θ2 ∈ [0, 1] 

Siin 

ω = ϕ(x + ∆x, y) − ϕ(x, y) = ϕ(x + θ1∆x, y)x∆x 

ω = ψ(x, y + ∆y) − ψ(x, y) = ψ(x, y + θ2∆y)y∆y 

lim 



Siin kasutame uuesti keskväärtusteoreemi 

Saame 

ϕ(x + θ1∆x, y)x = fx(x + θ1∆x, y + ∆y) − fx(x + θ1∆x, y) 

= fxy(x + θ1∆x, y + θ3∆y)∆y 

ψ(x, y + θ2∆y)y = fy(x + ∆x, y + θ2∆y) − fy(x, y + θ2∆y) 

= fyx(x + θ4∆x, y + θ2∆y)∆x 

fxy(x + θ1∆x, y + θ3∆y)∆x∆y = fyx(x + θ4∆x, y + θ2∆y)∆x∆y 

fxy(x + θ1∆x, y + θ3∆y) = fyx(x + θ4∆x, y + θ2∆y) 

Vaatame piirväärtust 

lim 

(∆x,∆y)→(0,0) fxy(x + θ1∆x, y + θ3∆y) = 

= lim 

(∆x,∆y)→(0,0) fyx(x + θ4∆x, y + θ2∆y) 


Diferentseeruvus 


Diferentsiaalarvutus Funktsiooni täisdiferentsiaalid ja nende rakendused 

Funktsiooni z = f (x, y) nimetatakse diferentseeruvaks punktis P(x, y), 

kui argumendi muudule (∆x, ∆y) vastav funktsiooni muut 

on esitatav kujul 

∆z = f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y) 

∆z = fx(x, y)∆x + fy(x, y)∆y + γ 

kus γ on kõrgemat järku lõpmata väike suurus võrreldes vektori 

(∆x, ∆y) pikkusega (∆x, ∆y)2 piirprotsessis (∆x, ∆y) → (0, 0). 


Lause 3 


Kui funktsioonil z = f (x, y) on pidevad osatuletised fx ja fy punktis 

P(x, y), siis funktsioon z = f (x, y) on diferentseeruv selles punktis. 

Järeldus 4 

Kui funktsioon z = f (x, y) on diferentseeruv punktis P(x, y), siis 

funktsioon f on pidev selles punktis. 


Täisdiferentsiaal 


Suurust 


df := fx(x, y)dx + fy(x, y)dy, 

kus dx := ∆x ja dy := ∆y, nimetatakse funktsiooni f (x, y) 

täisdiferentsiaaliks. 


Suurust d 2 f := d(df ) nimetatakse funktsiooni f teist järku 

täisdiferentsiaaliks. 


Funktsiooni f r-järku täisdiferentsiaaliks nimetatakse täisdiferentsiaali 

funktsiooni (r − 1)-järku täisdiferentsiaalist ja tähistatakse 

d r f := d(d r−1 f ). 


Lause 4 


Kui funktsiooni f (x, y) osatuletised fx(x, y) ja fy(x, y) on 

diferentseeruvad punktis P(x, y), siis fxy = fyx punktis P. 


Liitfunktsiooni osatuletised 

Lause 5 

Diferentsiaalarvutus Liitfunktsiooni osatuletised 

Kui funktsioonid x i = x i(t) (i = 1, . . . , n) on diferentseeruvad punktis t 

ja funktsioon u = f (x) on diferentseeruv punktis P(x1(t), . . . , xn(t)), siis 

liitfunktsiooni 

f (x1(t), . . . , xn(t)) = f (x(t)) = u(t) 

tuletis punktis t avaldub kujul 

du(t) 

dt = 

n 

i=1 

fx (x(t)) i dxi(t) . 

dt 


Lause 6 

Diferentsiaalarvutus Liitfunktsiooni osatuletised 

Kui funktsioonid x = x(u, v) ja y = y(u, v) on diferentseeruvad punktis 

P(u, v) ning funktsioon z = z(x, y) on diferentseeruv punktis 

(x(P), y(P)), siis liitfunktsiooni z = z(x(P), y(P)) = z(u, v) 

osatuletised avalduvad kujul 

zu = zxxu + zyyu, zv = zxxv + zyyv. 


Diferentsiaalarvutus Ilmutamata funktsiooni osatuletised 



Kui funktsioon u = f (x1, . . . , xn) on antud võrrandiga 

F(x1, . . . , xn, u) = 0, kus F on mingi n + 1-muutuja funktsioon, siis 

öeldakse et funktsioon f on antud ilmutamata kujul. 

Vaatame ühe muutuja funktsiooni y = f (x). 

Lause 7 

Kui funktsioon y = f (x) on antud ilmutamata kujul võrrandiga 

F(x, y) = 0 ja P(x, y) on selle võrrandiga esitatud joone punkt ning F 

on diferentseeruv punktis P ja selles punktis Fy(P) = 0, siis 

f ′ (P) ≡ dy 

dx 

= − Fx(P) 

Fy(P) . 









Lause 7 




f ′ (P) ≡ dy 

dx 

= − Fx(P) 

Fy(P) . 









Lause 7 




f ′ (P) ≡ dy 

dx 

= − Fx(P) 

Fy(P) . 


Lause 8 


Olgu funktsioon z = f (x, y) antud ilmutamata kujul võrrandiga 

F(x, y, z) = 0. Olgu P(x, y, z) selle võrrandiga esitatud pinna punkt. 

Kui funktsioon F on diferentseeruv punktis P ja selles punktis 

Fz(P) = 0, siis 

fx(x, y) ≡ ∂z 

∂x 

Lühidalt tähistame 

= − Fx(P) 

Fz(P) 

zx = − Fx 

Fz 

fy(x, y) ≡ ∂z 

∂y 

zy = − Fy 

. 

Fz 

= − Fy(P) 

Fz(P) . 

Üldjuhul kui funktsioon u = f (x1, . . . , xn) on antud ilmutamata kujul 

võrrandiga F(x1, . . . , xn, u) = 0, saame 

fx j (x1, . . . , xn) ≡ ∂u 

∂x j 

= − Fx j (x1, . . . , xn, u) 

Fu(x1, . . . , xn, u) 

(j ∈ 1, . . . , n). 


Lause 8 


Olgu funktsioon z = f (x, y) antud ilmutamata kujul võrrandiga 

F(x, y, z) = 0. Olgu P(x, y, z) selle võrrandiga esitatud pinna punkt. 

Kui funktsioon F on diferentseeruv punktis P ja selles punktis 

Fz(P) = 0, siis 

fx(x, y) ≡ ∂z 

∂x 

Lühidalt tähistame 

= − Fx(P) 

Fz(P) 

zx = − Fx 

Fz 

fy(x, y) ≡ ∂z 

∂y 

zy = − Fy 

. 

Fz 

= − Fy(P) 

Fz(P) . 

Üldjuhul kui funktsioon u = f (x1, . . . , xn) on antud ilmutamata kujul 

võrrandiga F(x1, . . . , xn, u) = 0, saame 

fx j (x1, . . . , xn) ≡ ∂u 

∂x j 

= − Fx j (x1, . . . , xn, u) 

Fu(x1, . . . , xn, u) 

(j ∈ 1, . . . , n).

2. loeng Osatuletised. - Tallinna Tehnikaülikool

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?