1. loeng Mitme muutuja funktsioon, piirväärtus, pidevus. - Tallinna ...

YMM3740 Matemaatilne analüüs II 

Gert Tamberg 

Matemaatikainstituut 

Tallinna Tehnikaülikool 

gtamberg@staff.ttu.ee 

http://staff.ttu.ee/˜gtamberg 

G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 1 / 24

Sisu 

1 Diferentsiaalarvutus 

2 Ridade teooria 

3 Integraalarvutus ja diferentsiaalvõrrandid 


Diferentsiaalarvutus 

Mitme muutuja funktsioon 

Funktsiooni piirväärtus ja pidevus 

Funktsiooni osatuletised 

Funktsiooni täisdiferentsiaalid ja nende rakendused 

Liitfunktsiooni osatuletised 

Ilmutamata funktsiooni osatuletised 

Pinna puutujatasand ja normaalsirge 

Taylori valem 

Lokaalse ekstreemumi tarvilikud ja piisavad tingimused 

Tinglik ekstreemum 

Globaalne ekstreemum 

Väljateooria põhimõisted 


Ridade teooria 

Arvread 

Positiivsete arvridade võrdlustunnused 

D’Alembert’i tunnus 

Cauchy tunnus 

Integraaltunnus 

Leibnizi tunnus 

Funktsionaalread 

Astmeread 

Abeli teoreem 

Taylori rida 

Astmeridade rakendused 

Ortogonaalsed polünoomid 

Fourier’ rida ortogonaalse süsteemi järgi 

Besseli võrratus ja Parsevali võrdus 

Fourier’ rida trigonomeetrilise süsteemi järgi 

Fourier’ teisendus 


Integraalarvutus ja diferentsiaalvõrrandid 

Kordsed integraalid ja ende arvutamine 

Muutujate vahetus kordses integraalis 

Diferentsiaalvõrrandi mõiste 

Cauchy ülesanne 

Eksaktne diferentsiaalvõrrand 

Eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrand 

Lineaarne diferentsiaalvõrrand 

Lineaarsed konstantsete kordajatega diferentsiaalvõrrandid 

Lineaarsed konstantsete kordajatega diferentsiaalvõrrandite 

süsteemid 


Kirjandus 

Tammeraid I. Matemaatiline analüüs II. Tallinn, TTÜ kirjastus, 

2003. 

Piskunov N. S. Diferentsiaal- ja integraalarvutus II. Tallinn, Valgus, 

1966. 

Kangro G. Matemaatiline analüüs II. Tallinn, Valgus, 1968. 

Sõrmus T., Vainikko G. Harilikud diferentsiaalvõrrandid. Tallin, 

Valgus, 1972. 

Vainikko G. Harilikud diferentsiaalvõrrandid. Tallin, 1986. 

Lõhmus A., Petersen I., Roos H. Kõrgema matemaatika 

ülesannete kogu. Tallinn, Valgus, 1982. 

Reimers E. Matemaatilise analüüsi praktikum II. Tallinn, Valgus, 

1988. 


Tähistused 

Sissejuhatus 

N := {1, 2, 3, . . .} - naturaalarvude hulk 

Z := {−2, −1, 0, 1, 2, . . .} - täisarvude hulk 

R - reaalarvude hulk 

C(D) - piirkonnas D pidevate funktsioonide klass 

C 1 (D) - piirkonnas D pidevalt diferentseeruvate funktsioonide 

klass 

L 1 (D) - piirkonnas D (Lebesgue’i mõttes) integreeruvate 

funktsioonide klass 

L 2 (D) - piirkonnas D integreeruva ruuduga funktsioonide klass 


Mitme muutuja funktsioon 

Definitsioon (Otsekorrutis) 

Diferentsiaalarvutus Mitme muutuja funktsioon 

Hulkade H1, . . . , Hn otsekorrutiseks ehk Cartesiuse korrutiseks 

H1 × . . . × Hn nimetatakse kõigi järjendite (h1, . . . , hn), kus h i ∈ H i, 

hulka. Kui H1 = . . . = Hn = H, siis n teguri otsekorrutist H × . . . × H 

tähistatakse lühemalt H n . 


Definitsioon 


Aritmeetilseks punktiruumiks Rn nimetatakse otsekorrutist R n , kus R 

tähistab reaalarvude hulka. 

Definitsioon 

Aritmeetilseks vektorruumiks R n nimetatakse hulka R n , mille 

elementidel on defineeritud liitmine ja arvuga korrutamine järgnevalt 

(x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) := (x1 + y1, . . . , xn + yn) 

α(x1, . . . , xn) := (αx1, . . . , αxn) 

kus (x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn) ∈ R n , α ∈ R. 


Definitsioon 


Mittetühja hulka V nimetatakse vektorruumiks, kui sellel hulgal on 

defineeritud lineaarsed tehted: hulga V elementide liitmine ja hulga V 

elementide korrutamine skalaaridega, mis on hulgal V kinnised nii, et 

on täidetud järgmised tingimused: 

x + y = y + x (liitmise kommutatiivsus) 

x + (y + z) = (x + y) + z (liitmise assotsiatiivsus) 

∃Θ ∈ V . . . Θ + x = x (nullelemendi olemasolu) 

∀x ∈ V ∃(−x) ∈ V . . . x + (−x) = 0 (vastandelemendi olemasolu) 

1 ∈ R . . . 1x = x (unitaarsus) 

α(βx) = (αβ)x (assotsiatiivsus arvude korrutamise suhtes) 

α(x + y) = αx + αy (distributiivsus vektorite liitmise suhtes) 

(α + β)x = αx + βx (distributiivsus arvude liitmise suhtes) 


Definitsioon (Skalaarkorrutis) 


Skalaarkorrutiseks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale 

kahele vektorile u, v ∈ V seab vastavusse skalaari 〈u, v〉 ∈ R, 

kusjuures on täidetud järgmised tingimused: 

1 ∀u ∈ V 〈u, u〉 0; 〈u, u〉 = 0 ⇔ u = Θ 

2 ∀u, v ∈ V 〈u, v〉 = 〈v, u〉 

3 ∀u, v, w ∈ V 〈u, v + w〉 = 〈u, v〉 + 〈u, w〉 

4 ∀u, v ∈ V , α ∈ R 〈αu, v〉 = 〈u, αv〉 = α〈u, v〉 

Ruumi R n vektorite x = (x1, . . . , xn) ja y = (y1, . . . , yn) skalaarkorrutis 

〈x, y〉 defineeritakse 

〈x, y〉 := x1y1 + . . . + xnyn 


Definitsioon (Skalaarkorrutis) 


Skalaarkorrutiseks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale 

kahele vektorile u, v ∈ V seab vastavusse skalaari 〈u, v〉 ∈ R, 

kusjuures on täidetud järgmised tingimused: 

1 ∀u ∈ V 〈u, u〉 0; 〈u, u〉 = 0 ⇔ u = Θ 

2 ∀u, v ∈ V 〈u, v〉 = 〈v, u〉 

3 ∀u, v, w ∈ V 〈u, v + w〉 = 〈u, v〉 + 〈u, w〉 

4 ∀u, v ∈ V , α ∈ R 〈αu, v〉 = 〈u, αv〉 = α〈u, v〉 

Ruumi R n vektorite x = (x1, . . . , xn) ja y = (y1, . . . , yn) skalaarkorrutis 

〈x, y〉 defineeritakse 

〈x, y〉 := x1y1 + . . . + xnyn 


Definitsioon (Norm) 


Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile u ∈ V 

seab vastavusse skalaari u ∈ R, kusjuures on täidetud järgmised 

tingimused: 

1 ∀u ∈ V u 0; u = 0 ⇔ u = Θ 

2 ∀u ∈ V , α ∈ R αu = |α|u 

3 ∀u, v ∈ V u + v u + v 

Kui meil on ruumis V defineeritud skalaarkorrutis, siis võime vektori u 

normi defineerida kujul 

u2 := 〈u, u〉 

Seega võime ruumi Rn vektori x = (x1, . . . , xn) normi x2 ehk vektori 

pikkuse defineerida kujul 

|x| := x2 = 

〈x, x〉 = x 2 1 + . . . + x 2 n 






tingimused: 

1 ∀u ∈ V u 0; u = 0 ⇔ u = Θ 

2 ∀u ∈ V , α ∈ R αu = |α|u 

3 ∀u, v ∈ V u + v u + v 



u2 := 〈u, u〉 



|x| := x2 = 

〈x, x〉 = x 2 1 + . . . + x 2 n 






tingimused: 

1 ∀u ∈ V u 0; u = 0 ⇔ u = Θ 

2 ∀u ∈ V , α ∈ R αu = |α|u 

3 ∀u, v ∈ V u + v u + v 



u2 := 〈u, u〉 



|x| := x2 = 

〈x, x〉 = x 2 1 + . . . + x 2 n 


Definitsioon (Kaugus) 


Kauguseks ruumis V nimetatakse reeglit, mis igale kahele selle ruumi 

elemendile u, v ∈ V seab vastavusse skalaari d(u, v) ∈ R, kusjuures 


1 ∀u, v ∈ V d(u, v) 0; d(u, v) = 0 ⇔ v = u 

2 ∀u, v ∈ V d(u, v) = d(v, u) 

3 ∀u, v, w ∈ V d(u, v) d(u, w) + d(w, v) 

Kui meil on ruumis V defineeritud norm, siis võime kahe elemendi 

u, v ∈ V vahelise kauguse defineerida kujul 

d(u, v) := v − u 

Seega on ruumi Rn punktide P(x1, . . . , xn) ja Q(y1, . . . , yn) vaheline 

kaugus leitav kujul 

 

d(P, Q) = |y − x| = (y1 − x1) 2 + . . . + (yn − xn) 2 







1 ∀u, v ∈ V d(u, v) 0; d(u, v) = 0 ⇔ v = u 

2 ∀u, v ∈ V d(u, v) = d(v, u) 




d(u, v) := v − u 



 

d(P, Q) = |y − x| = (y1 − x1) 2 + . . . + (yn − xn) 2 







1 ∀u, v ∈ V d(u, v) 0; d(u, v) = 0 ⇔ v = u 

2 ∀u, v ∈ V d(u, v) = d(v, u) 




d(u, v) := v − u 



 

d(P, Q) = |y − x| = (y1 − x1) 2 + . . . + (yn − xn) 2 


Definitsioon 


Hulka Uε(P) = {Q ∈ Rn|d(P, Q) < ε} nimetatakse punkti P ∈ Rn 

ε-ümbruseks. 

Definitsioon 

Punkti P nimetatakse hulga Ω ⊂ Rn rajapunktiks kui iga ε > 0 korral 

Uε(P) sisaldab nii hulga Ω punkte kui ka hulka Ω mittekuuluvaid Rn 

punkte. 

Definitsioon 

Hulga Ω ⊂ Rn kõigi rajapunktide hulka nimetatakse hulga Ω rajaks ja 

tähistatkse ∂(Ω). 

Definitsioon 

Hulka Ω ⊂ Rn nimetatakse kinniseks kui ta sisaldab kõik oma 

rajapunktid. 


Definitsioon 


Hulka Ω ⊂ Rn nimetatakse lahtiseks kui iga P ∈ Ω korral leidub ε > 0 

nii et Uε(P) ⊆ Ω. 

Definitsioon 

Hulka B(A, r) := {Q ∈ Rn|d(Q, A) < r} nimetatakse lahtiseks keraks 

raadiusega r keskpunktiga punktis A. 

Definitsioon 

Hulka Ω ⊂ Rn nimetatakse kompaktseks, kui ta on kinnine ja 

tõkestatud, st leidub r > 0, et Ω ⊂ B(0, r) 


n-muutuja funktsioon 

Definitsioon 


Kui hulga Ω ⊂ Rn igale punktile P(x1, . . . , xn) on vastavusse seatud 

muutuja u ∈ R kindel väärtus, siis öeldakse, et hulgal Ω on defineeritud 

n-muutuja (skalaarväärtusega) funktsioon. 

Seda fakti tähistatakse u = f (x1, . . . , xn) või lühidalt u = f (P) ehk 

P f 

↦−→ u. 

Definitsioon 

Hulka Ω nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks ja hulka 

{u|((x1, . . . , xn) ∈ Ω) ∧ u = f (x1, . . . , xn)} ⊂ R funktsiooni väärtuste 

piirkonnaks. 

Hulka {(x1, . . . , xn, u)|((x1, . . . , xn) ∈ Ω) ∧ u = f (x1, . . . , xn)} ⊂ Rn+1 

nimetatakse funktsiooni graafikuks. 


n-muutuja funktsioon 

Definitsioon 


Kui hulga Ω ⊂ Rn igale punktile P(x1, . . . , xn) on vastavusse seatud 

muutuja u ∈ R kindel väärtus, siis öeldakse, et hulgal Ω on defineeritud 

n-muutuja (skalaarväärtusega) funktsioon. 

Seda fakti tähistatakse u = f (x1, . . . , xn) või lühidalt u = f (P) ehk 

P f 

↦−→ u. 

Definitsioon 

Hulka Ω nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks ja hulka 

{u|((x1, . . . , xn) ∈ Ω) ∧ u = f (x1, . . . , xn)} ⊂ R funktsiooni väärtuste 

piirkonnaks. 

Hulka {(x1, . . . , xn, u)|((x1, . . . , xn) ∈ Ω) ∧ u = f (x1, . . . , xn)} ⊂ Rn+1 

nimetatakse funktsiooni graafikuks. 



Et järjend (x1, . . . , xn) määrab ära vektori x = (x1, . . . , xn), siis on 

mõningatel juhtudel otstarbekas kõnelda vektorargumendi x 

skalaarväärtusega funktsioonist u = f (x). 

Definitsioon 

Kui funktsioon u = f (x1, . . . , xn) on antud võrrandiga 

F(x1, . . . , xn, u) = 0, kus F on mingi n + 1-muutuja funktsioon, siis 

öeldakse et funktsioon f on antud ilmutamata kujul. 

Definitsioon 

Pinda punktiruumis Rn võrrandiga f (x1, . . . , xn) = C, kus C ∈ R on 

etteantud konstant, nimetatakse funktsiooni f nivoopinnaks. 


Definitsioon 


Ruumi R3 punkti P koordinaate ρ, ϕ ja z, mida ristkoordinaatidega x, y 

ja z seovad valemid 

x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ, z = z, 

nimetatakse silindrilisteks koordinaatideks. 

Definitsioon 

Ruumi R3 punkti P koordinaate ρ, ϕ ja ψ, mida ristkoordinaatidega x, y 

ja z seovad valemid 

x = ρ sin ψ cos ϕ, y = ρ sin ψ sin ϕ, z = ρ cos ψ, 

nimetatakse sfäärilisteks koordinaatideks. 




Funktsiooni piirväärtus 

Definitsioon 

Diferentsiaalarvutus Funktsiooni piirväärtus ja pidevus 

Arvu c nimetatakse funktsiooni u = f (x1, . . . , xn) piirväärtuseks punktis 

A(a1, . . . , an), kui iga ε > 0 korral leidub selline δ > 0, et iga P ∈ Uδ(A), 

kus P = A, korral |f (P) − c| < ε. 

Kasutatakse tähistust 

Lause 

lim f (P) = c. 

P→A 

Piirväärtus lim 

P→A f (P) eksisteerib parajasti siis, kui f (P) → c sõltumata 

punkti P punktile A lähenemise viisist. 


Näide 


Veendume, et lim 

(x,y)→(1,2) x 2 + 3y = 7. Selleks kirjutame 

|(x 2 + 3y) − 7| = |(x 2 − 1) + 3(y − 2)| = 

= |(x − 1)(x + 1) + 3(y − 2)| |x − 1||x + 1| + 3|y − 2|. 

Olgu ε > 0 ning nõuame, et otsitav δ > 0 oleks väiksem kui 1. Kui 

kehtib tingimus |x − 1| d (x, y), (1, 2) < δ < 1, siis |x + 1| < 3. 

Samuti kehtib võrratus |y − 2| < 1 ning me saame, et 

|(x 2 + 3y) − 7| < 6d (x, y), (1, 2) . 

Võtame δ < min{1, ε/6}, siis tingimusest d (x, y), (1, 2) < δ järeldub 

|(x 2 + 3y) − 7| < ε. Seega lim 

(x,y)→(1,2) x 2 + 3y = 7.⋄ 


Definitsioon 

Piirväärtust 

lim 

lim 

x1→a1 x2→a2 


. . . lim f (x1, . . . , xn) = 

xn→an 

 

 

= lim 

x1→a1 

lim . . . 

x2→a2 

lim f (x1, . . . , xn) 

xn→an 

nimetatakse korduvaks piirväärtuseks. 


Lause 


Olgu funktsioon f (x, y) määratud hulgal X × Y = R2. Kui eksisteerib 

piirväärtus 

lim f (x, y) = c 

(x,y)→(a,b) 

ja iga y ∈ Y korral leidub piirväärtus 

φ(y) := lim 

x→a f (x, y), 

siis eksisteerib ka korduv piirväärtus 

ja 

lim 

y→b lim f (x, y) = lim 

x→a y→b φ(y) 

lim 

y→b lim f (x, y) = lim f (x, y) = c 

x→a (x,y)→(a,b) 


Pidevus 

Definitsioon 


Funktsiooni u = f (x1, . . . , xn) nimetatakse pidevaks punktis 

A(a1, . . . , an), kui 

lim f (P) = f (A), 

P→A 

st on täidetud kolm tingimust: 

1 ∃f (A); 

2 ∃ lim 

P→A f (P); 

3 lim 

P→A f (P) = f (A). 

Definitsioon 

Funktsiooni u = f (x1, . . . , xn) nimetatakse pidevaks piirkonnas 

Ω0 ⊆ Ω ⊆ Rn, kui see funktsioon on pidev piirkonna Ω0 igas punktis. 


Pidevus 

Definitsioon 


Funktsiooni u = f (x1, . . . , xn) nimetatakse pidevaks punktis 

A(a1, . . . , an), kui 

lim f (P) = f (A), 

P→A 

st on täidetud kolm tingimust: 

1 ∃f (A); 

2 ∃ lim 

P→A f (P); 

3 lim 

P→A f (P) = f (A). 

Definitsioon 

Funktsiooni u = f (x1, . . . , xn) nimetatakse pidevaks piirkonnas 

Ω0 ⊆ Ω ⊆ Rn, kui see funktsioon on pidev piirkonna Ω0 igas punktis. 



Asjaolu, et funktsioon on pidev piirkonnas Ω0 tähistatakse f ∈ C(Ω0) 

või f ∈ C 0 (Ω0) 

Lause 

Iga mitme muutuja elementaarfunktsioon on pidev oma 

määramispiirkonna sisepunktides. 



Asjaolu, et funktsioon on pidev piirkonnas Ω0 tähistatakse f ∈ C(Ω0) 

või f ∈ C 0 (Ω0) 

Lause 

Iga mitme muutuja elementaarfunktsioon on pidev oma 

määramispiirkonna sisepunktides.

1. loeng Mitme muutuja funktsioon, piirväärtus, pidevus. - Tallinna ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?