Analiza I

1.3. RACIONALNA ˇ STEVILA Q 5
Poudariti ˇzelimo, da so vsa do sedaj naˇsteta pravila posledica osnovnih
pravil, t.j. aksiomov A1 do A4.
(ii) Lastnosti mnoˇzenja:
A5 asociativnost - Za poljubna tri ˇstevila a, b, c velja:
(a·b)·c = a·(b·c).
A6 komutativnost - Za poljubni ˇstevili a, b velja:
a·b = b·a.
A7 enota za mnoˇzenje - Za poljubno ˇstevilo a obstaja takˇsno ˇstevilo
1, da velja:
a·1 = a.
A8 inverzni element (recipročnoˇstevilo)-Vsakood0različnoˇstevilo
a ima recipročno oz. obratno ˇstevilo, t.j. ˇstevilo, ki ga označimo z
a −1 ali 1/a, (a = 0), tako da velja:
a·a −1 = 1.
Trditev 3 Za dano ˇstevilo a je recipročno ˇstevilo eno samo.
Dokaz: Najbodanoˇsteviloa, a = 0. Denimo, daobstajatadverecipročni
ˇstevili, b in c. Torej a·b = 1 in a·c = 1. Ker velja
in
c·(a·b) = c·1
A7
= c
c·(a·b) A5
= (c·a)·b
A6
= (a·c)·b
= 1·b
A6
= b·1
A7
= b,
sledi, da je c = b. Torej je recipročnoˇstevilo eno samo.