Analiza I

2.4. KONVERGENTNA ZAPOREDJA 37
1. zaporedje an = (−1) n divergira
n 1
2. zaporedje an = (−1) n konvergira k 0, torej limn→∞(−1) n · 1
n = 0.
Dokaz: Naj bo ε > 0.
|an −0| < ε ⇔
(−1)n1
n
1
< ε ⇔ < ε
n
Vemo, da obstaja n0 ∈ N, da je 1
n0 < ε, torej za vsak n ≥ n0 velja:
1 1
≤ < ε,
n n0
od koder sledi, da za vsak n ≥ n0 velja |an −0| < ε. ♦
Zapomnimosi,dajevsakalimitazaporedjatudistekaliˇsčezaporedja. Stekaliˇsče
pa ni nujno limita, tudi če je eno samo.
Zgled: Oglejmo si zaporedje:
s členi
⎧
⎨ n, n je sodo
an =
⎩
1/n, n je liho,
1 1 1
,2, ,4,
1 3 5 ,6...
Stekaliˇsče je eno samo, t.j. 0, zaporedje pa ni konvergentno. ♦
Trditev 11
Če zaporedje konvergira, ima natanko eno limito.
Dokaz. Denimo, da ima zaporedje {an} ∞
n=1 dve limiti.
Naj bo ε = |a−b|
4
disjunktni, t.j.
lim
n→∞ an = a, lim
n→∞ an = b, a = b.
> 0. Tedaj je ε > 0 in okolici (a−ε,a+ε) in (b−ε,b+ε) sta
(a−ε,a+ε)∩(b−ε,b+ε) = ∅.