Analiza I

1.4. DEDEKINDOV AKSIOM, REALNA ˇ STEVILA 11
en aksiom, ki ta pogoj izpolni.
A13 Dedekindov aksiom - Vsaka neprazna navzgor omejena mnoˇzica ˇstevil
ima natančno zgornjo mejo.
Obseg racionalnihˇstevil torej ne izpolnjuje aksioma A13. Kakˇsnaˇstevila pa
izpolnjujejo tudi omenjeni aksiom, kako videti, da realna ˇstevila obstajajo in
kako jih konstruirati iz racionalnih ˇstevil bomo spoznali v nadaljevanju.
1.4.1 Osnovni izrek o obstoju realnih ˇstevil
Izrek 1 Obstaja urejen komutativen obseg ˇstevil R (t.j. izpolnjuje A1-A12),
ki izpolnjuje tudi aksiom A13 in vsebuje racionalna ˇstevila Q kot podobseg (t.j.
Q ⊂ R in operacije seˇstevanja in mnoˇzenja v R, uporabljena na Q, sovpada
z ˇze znanim seˇstevanjem in mnoˇzenjem na Q). Pozitivna ˇstevila v R, ki so
racionalna, so natanko Q + . R imenujemo obseg realnih ˇstevil.
Opomba: Konstrukcijo realnihˇstevil na osnovi racionalnihˇstevil, ki jo bomo
omenili, je prvi objavilnemˇski matematik Dedekind. Istočasnoje drugačnokon-
strukcijo objavil Cantor. Dokaz zgornjega izreka bomo le skicirali.
Idejaokonstrukcijirealnihˇstevilslediizzgornjegazgleda. Recimo, daˇzelimo
na premici najti ” ˇstevilo”, katerega kvadrat je 2. Da bi tako priˇsli do točke na
ˇstevilski osi, vsa racionalnaˇstevila prereˇzemo na dela, t.j. tista, katerih kvadrat
je manjˇsi od 2 in tista, katerih kvadrat je večji (ali enak) 2, t.j. na zgornji
in spodnji razred. Vsako realno ˇstevilo torej razdeli ˇstevilsko os (premico) na
dva dela. Ker moramo tak rez znati opisati le z racionalnimi ˇstevili, bomo rez
identificirali z mnoˇzico vseh racionalnih ˇstevil levo od reza:
Definicija 3 Realno ˇstevilo je rez, ki razdeli racionalna ˇstevila na dva razreda.
Naj bo R mnoˇzica rezov. Rez (oz. presek) je mnoˇzica racionalnih ˇstevil A ⊂ Q,
za katero velja:
i) A = ∅ in A = Q.
ii) če je p ∈ A in q < p, potem je q ∈ A.