Analiza I

1.6. ABSOLUTNA VREDNOST 19
Nenegativno ˇstevilo |x| imenujemo absolutna vrednost ˇstevila x. Pri tem
velja:
i) |x| ≥ 0
ii) |x| = 0 ⇔ x = 0
iii) |−x| = |x|
iv) −|x| ≤ x ≤ |x|
v) na ˇstevilski premici je |x| razdalja od x do 0.
Trditev 7 Za poljubni realni ˇstevili a in b velja
|a+b| ≤ |a|+|b|,
t.j. tako imenovana trikotniˇska neenakost.
Dokaz: Če je vsaj eno odˇstevil a in b enako 0, velja enačaj. Če sta a in b istega
predznaka, t.j. oba sta pozitivna ali oba sta negativna, tudi velja enačaj. Če pa
sta a in b različnegapredznaka, npr. a > 0 in b < 0 pa velja: |a| = a in |b| = −b,
torej a+b = |a|−|b|. Od tod sledi, da je |a+b| = |a|−|b| ali |a+b| = |b|−|a|,
odvisno od tega katero od ˇstevil |a| − |b| oz. |b| − |a| je nenegativno. Ker je
|a|+|b| ≥ |a|−|b| in tudi |a|+|b| ≥ |b|−|a|, je v obeh primerih |a+b| ≤ |a|+|b|.
Trditev 8 Za poljubni realni ˇstevili a in b velja:
|ab| = |a||b|.
Dokaz: Dokaz sledi iz definicije absolutne vrednosti.
Posledica 3 Če so a0,a1,a2,...,an realna ˇstevila, je
|a0 +a1 +a2 +...+an| ≤ |a0|+|a1|+|a2|+...+|an|.