Analiza I

2.3. STEKALIˇ SČA ZAPOREDJA 35
2.3 Stekaliˇsča zaporedja
Definicija 24 ˇ Stevilo a imenujemo stekaliˇsče zaporedja {an} ∞
n=1 , če v vsaki
(torej ˇse tako majhni) okolici ˇstevila a, leˇzi neskončno mnogo členov zaporedja.
Z drugimi besedami: a je stekaliˇsče {an} ∞
n=1 , če za vsak ε > 0 velja |an−a| < ε
za neskončno mnogo n-jev.
Slika 2.1: ε-okolica ˇstevila a
Opomba: Beseda stekaliˇsče morda ni bila najbolj posrečeno izbrana, ker bi
nas morda navedla na napačen sklep, da mora biti stekaliˇsče eno samo.
Ko pravimo v okolici U leˇzi neskončno mnogo členov zaporedja {an}
” ∞
n=1 ” s
tem povemo, da je an ∈ U za neskončno mnogo indeksov n. Ti členi med seboj
niso nujno različni. Zaporedje 0,0,0,..., kjer je an = 0 za vse n, ima stekaliˇsče
0.
Izrek 5
Če vsaka (ˇse tako majhna) okolica ˇstevila a vsebuje nek člen zaporedja
{an} ∞
n=1 , an = a, potem je a stekaliˇsče zaporedja.
Dokaz: Naj bo ε > 0. Po predpostavki obstaja tak člen zaporedja an1, da
velja:
an1 = a, |an1 −a| < ε.
Po predpostavki obstaja tak člen zaporedja an2, da velja:
an2 = a, |an2 −a| < |an1 −a| < ε.
Člene tega ” zaporedja” dobimo induktivno. Denimo, da ˇze imamo člene an1,
an2, ..., anm, za katere velja
0 < |anm −a| < ... < |an2 −a| < |an1 −a| < ε.
Po predpostavki obstaja tak člen zaporedja anm+1, da velja:
anm+1 = a, |anm+1 −a| < |anm −a| < ... < |an1 −a| < ε.