3. Otpornost i djelovanja na konstrukciju: veličine stohastičkog modela

POUZDANOST KONSTRUKCIJA 

DIPLOMSKI SVEUČILIŠNI 

STUDIJ GRAĐEVINARSTVA 

3. Otpornost i djelovanja na 

konstrukciju: veličine stohastičkog 

modela 

Prof. dr. sc. Bernardin Peroš

S A D R Ž A J 

0. Pregled tehničke regulative u građevinarstvu 

1. Uvod u teoriju pouzdanosti 

2. Deterministički i probabilistički pristup 

3. Otpornost i djelovanja na konstrukciju: veličine stohastičkog 

modela 

4. Probabilistički postupak utvrđivanja pouzdanosti konstrukcija 

5. Inženjerstvo pouzdanosti 

6. Primjeri proračuna pouzdanosti inženjerskih konstrukcija

III. Otpornost i djelovanja na konstrukciju – veličine stohastičkog modela 

3.1. Uvod 

Kao što je već rečeno sigurnost konstrukcije općenito ovisi o dvije globalne utjecajne veličine: 

a) otpornost (nosivost) konstrukcije - R 

- obično ju iskazujemo kao granično naprezanje (a može biti i granična sila) kod 

kojega dolazi do otkazivanja nosivosti; 

b) djelovanje (opterećenje) na konstrukciju - S 

- agensi koji djeluju na konstrukciju obično su iskazani naprezanjima, a mogu biti i 

u silama ili naponima. 

Pretpostavljamo da su ovi utjecaji slučajne veličine statistički neovisne jedna o drugoj, ali 

svaka složena od niza neovisnih pojedinačnih utjecaja, čija je pojava, opet u pravilu, slučajna 

veličina - bazna varijabla. 

Procjena neodređenosti pojedinih parametara i varijabli (korištenje mjernih podataka ili 

primjena fizikalnih zakonitosti) područje je stohastičkog modeliranja o čemu je više kazano u 

poglavlju 6. 

3


Jedan jednostavan analogon prof. Basler-a može nam dati uvid u princip ocjene stupnja 

sigurnosti ako su dva međusobno neovisna događaja zakonitosti slučajne veličine. 

Zamislimo npr. da smo za hidrometereološku službu naručili veliki broj limenih posuda (cca 

1000) u kojima će se mjeriti na čitavom jednom području dnevna količina oborina. Radionici 

smo dali određene mjere za volumen posuda za koje smatramo da će zadovoljiti potrebe 

mjerenja oborina. No radionica, jasno, neće moći ove mjere točno održati pa će izraditi posude 

raznog volumena koje će se, kako prema više tako i prema manje, rasporediti oko zatraženog 

volumena. 

Posude pošaljemo na odredišta i počnemo mjeriti dnevne količine oborina. No i dnevne 

količine oborina podliježu jednom zakonu slučaja koji se također raspoređuje, kako prema gore 

tako i prema dolje, najčešće očekivane dnevne količine oborina. 

4


Kako znamo za tu pojavu, mi smo naručili volumen posude nešto veći od te najčešće 

očekivane količine oborina. Ta razlika nam je rezerva sigurnosti, a odnos između 

očekivane dnevne količine oborina i naručenog volumena je koeficijent sigurnosti. 

Prema tome analogon je taj da volumen posude zamjenjuje nosivost konstrukcije, a količina 

dnevne oborine ekstremno opterećenje u vijeku trajanja konstrukcije (crtež 3.1). 

Crtež 3.1 Koncept određivanja stupnja sigurnosti prema analogonu prof. Basler-a 

5


Postavlja se pitanje kolika je vjerojatnost da se neće moći izmjeriti dnevna količina oborina, jer 

će biti katkada veća od volumena spremnika, pa će doći do prelijevanja. 

Prema analogonu to je i vjerojatnost da će doći do otkazivanja nosivosti, jer će nosivost 

(volumen spremnika) biti manja od opterećenja (količine oborina). 

Ako nam je poznata razdioba učestalosti (gustoća) i jedne i druge pojave (ne trebamo niti 

poznavati matematičku zakonitost), onda možemo dobiti vjerojatnost prelijevanja odnosno 

otkazivanja nosivosti iz izraza: 

∞ 

∫ 

−∞ 

∞ 

i 

⋅ ∫ Y 

i 

(b) 

(3.1) 

p = Y (a)dx dx 

−∞ 

6


a ( a′ ) - krivulja učestalosti (gustoće) pojave konstrukcije određene otpornosti 

(nosivosti - R) 

b ( b′ ) - krivulja učestalosti (gustoće) ekstremnog opterećenja na pojedinim 

konstrukcijama (djelovanje - S) 

Crtež 3.2 Krivulja učestalosti za pojave otpornosti (R) i djelovanja (S) pojedine konstrukcije 

Očito da ova vjerojatnost prelijevanja odnosno otkazivanja nosivosti ovisi o preklapanju krivulja 

“a” i “b” (crtež 3.2), tj. na neki način je direktno ovisna (proporcionalna) zajedničkoj površini 

ispod krivulja “a” i “b”. Ako je ova zajednička površina veća (a',b') bit će i vjerojatnost 

prelijevanja odnosno otkazivanja nosivosti veća. To znači kod većeg osipanja količina oborina 

(opterećenja) i većeg osipanja volumena (otpornosti) bit će i vjerojatnost prelijevanja 

(otkazivanja nosivosti) veća. 

7


Međutim za grubu ocjenu vjerojatnosti otkazivanja nosivosti uopće ne trebamo izvršiti 

integraciju navedenog uzorka. 

Američki istraživač Ang H.-S. je dokazao da je vjerojatnost otkazivanja nosivosti u svakom 

slučaju manja (tj. na strani smo veće sigurnosti) od zajedničke površine ispod oblika krivulje 

preklapanja ako su krivulje učestalosti normirane (crtež 3.3). 

Učestalost (gustoća) 

b - akcija 

a - otpornost 

_ 

F a 

_ 

F b 

X 

zajednička ordinata 

učestalosti 

X 

P < F a + F b P ... vjerojatnost otkazivanja nosivosti 

Crtež 3.3 Grafički prikaz određivanja stupnja sigurnosti konstrukcije 

8


Obe krivulje su normirane tj. površina ispod svake krivulje jednaka je jedinici : 

+∞ 

∫f x 

−∞ 

dx =1 

Površinu Fa 

zovemo donja fraktila krivulje “a”, a površinu F b zovemo gornja fraktila krivulje “b”. 

To su površine ispod ili iznad određene vrijednosti apscise x. 

Ovo je vrlo jednostavna ocjena stupnja sigurnosti, ali praktički to u najvećem broju slučajeva 

nije moguće provesti, jer u građevinarstvu nemamo dovoljno mjerenja i statističkih podataka o 

vrijednostima učestalosti najmanje otpornosti i podatka o vrijednostima učestalosti ekstremnih 

opterećenja za pojedine konstrukcije. 

Iz ovog razloga moramo ekstrapolirati krivulje gustoće u ovo područje na temelju mjerenjem 

dobivenih rezultata iz područja oko sredine vrijednosti, tj. iz područja najvećih učestalosti 

(gustoće). Ova ekstrapolacija provodi se tako da se odabere neka poznata krivulja gustoće, 

koja se može matematički izraziti, a koja se najbolje prilagođava podacima dobivenim 

mjerenjem. 

Ovo je i jedan od razloga što ne možemo dobiti apsolutne vrijednosti vjerojatnosti otkazivanja 

nosivosti, već su to samo operativne veličine pomoću kojih samo uspoređujemo postignute 

9 

stupnjeve sigurnosti raznih konstrukcija i njihovih elemenata međusobno.


3.1. Zakonitosti razdiobe slučajnih veličina 

Jedan od osnovnih problema probabilističkog pristupa dokazu nosivosti naših konstrukcija leži 

u adekvatnoj matematičkoj formulaciji zakonitosti razdiobe slučajnih veličina (baznih varijabli) 

otpornosti i djelovanja na konstrukciju, kako bismo mogli ekstrapolirati vrijednosti učestalosti 

(gustoće) u za nas najinteresantnije područje, a to su učestalosti ekstremno velikih opterećenja 

i ekstremno male otpornosti (nosivosti) konstrukcija. 

Na temelju mjerenja veličina nekog slučajnog događaja dobivamo najprije histogram 

učestalosti. Na primjeru za otpornost elementa naših konstrukcija vrlo značajne veličine 

granice tečenja čelika možemo to razmotriti. 

Crtež 3.4 Histogram učestalosti veličine otpornosti konstrukcije (granice tečenja) 

10


Histogram učestalosti dobijemo, ako od ukupnog broja pokusa bilježimo koliko je proba 

pokazalo granice tečenja koje padaju u određene intervale (npr. između 200 i 210 N/mm 2 , 

između 210 i 220 N/mm 2 , između 220 i 230 N/mm 2 , itd.). 

Iz tako dobivenog mjerenja možemo sada izračunati karakteristične statističke veličine: 

- aritmetička sredina x (srednja vrijednost): m = ∑X i 


n 

1 

= ∑ 

n −1 

2 

- standardna devijacija σ: s ( X i 

− m) ⇒ s 2 = varijanca (3.3) 

s 

m 

i= 

1 

- koeficijent varijacije : v = (3.4) 

1 

n 

n 

i= 

1 

gdje je: 

X 

i 

...... mjerni podatak 

n ........ ukupni broj proba 

Ako svaki stupac u histogramu učestalosti podijelimo s ukupnim brojem obavljenih pokusa 

onda dobivamo histogram relativne učestalosti (gustoće). 

Za čelik St.37 (Fe-360, ČN-24) prema mjerenju Njemačke željeznice (DB) dobiva se histogram 

relativne učestalosti (gustoće) prikazan na crtežu 3.5. 

11


2 

m = 277.8 N / mm 

2 

s = 17.79 N / mm 

v = 0.06405 = 6.405% 

Crtež 3.5 Histogram relativne učestalosti granice tečenja za čelik Fe - 360 (St. 37) 

Što je veći opseg proba “n”, to su rezultati karakterističnih veličina pouzdaniji. 

Koeficijent varijacije “v” karakterizira odstupanje slučajne veličine u odnosu na srednju 

vrijednost. Ako je “v” mali, slučajne veličine su guste oko aritmetičke sredine, a u protivnom 

slučaju vrlo je veliko osipanje. 

12


Crtež 3.6 Krivulja učestalosti - gustoće za slučaj velikog broja uzoraka (n→∞) 

Općeniti oblik srednje vrijednosti (matematičkog očekivanja) kontinuirane slučajne varijable x 

definira se izrazom : 

dok se varijanca (disperzija, osipanje) definira izrazom : 

+∞ 

∫ 

−∞ 

x = x ⋅ f ( x) 

dx 


2 

σ ( x − x) ⋅ f ( x) dx ⇒ s x = standardna devijacija (3.6) 

2 

x 

+∞ = ∫ 

−∞ 

Krivulja gustoće je normirana tako da je : 

+∞ 

( x) dx 1 

∫ f = 

−∞ 


13


gdje su oznake za ostale karakteristične vrijednosti: 

 

- medijana x za F ( x) = 0. 5 ..... mjesto podjele površine ispod krivulje na jednake 

dijelove (centralna vrijednost) 

d 

- modalna vrijednost xˆ za 

( f ( x) 

) 

= 0 ..... mjesto maksimalne gustoće (modus) 

dx 

⋅ 

- donja fraktila ..... x x − k σ 

p 

= 

p 

- gornja fraktila ..... x x + k ⋅σ 

q 

= 

q 

- kp ili kq ..... koeficijenti ovisno o tipu razdiobe. 

To su vrijednosti koje će s nekom određenom vjerojatnošću (p ili q) biti podbačene ili 

prebačene. 

Za potrebe probabilističkog postupka dokaza nosivosti potrebno je matematički formulirati 

zakonitost razdiobe tj. utvrditi funkciju gustoće. 

Na temelju raspoloživih statističkih podataka ocjenjuje se koja poznata razdioba najbolje 

odgovara promatranoj slučajnoj veličini ( baznoj varijabli ) otpornosti ili djelovanja na 

konstrukciju. Kod toga se po mogućnosti biraju razdiobe koje se matematički jednostavno 

izražavaju. 

Najuobičajenija, a često i najprikladnija, je tzv. Gauss-ova ili normalna razdioba, čija funkcija 

gustoće ima oblik: 

14


f 

( x) 

= 

1 

⋅ e 

2π 

⋅σ 

2 

1⎛ 

x−x 

⎞ 

− ⎜ ⎟ 

2⎝ 

σ ⎠ 


Ona doduše ima za prikazivanje slučajnih veličina otpornosti i djelovanja na konstrukciju jedno 

nepovoljno svojstvo, a to je da dopušta i negativne vrijednosti. Često je zato prihvatljivija 

lognormalna razdioba koja nema područje negativnih vrijednosti : 

f 

1 

 

−(ln x−x) 

2 

2 

2δ 

( x) 

= ⋅ e , (3.9) 

x ⋅δ 

2π 

δ ..... standardna devijacija logaritma od x 

Kod lognormalne razdiobe pretpostavlja se normalna razdioba ne veličina x, već njihovih 

logaritamskih vrijednosti. 

Postoji još vrlo mnogo različitih matematičkih formuliranih zakonitosti razdiobe, koje se mnogo 

rjeđe koriste u probabilističkom pristupu, kao što su npr. : 

15


- Binomna 

- Poissonova 

⎫ 

⎪ 

⎬ 

diskretne slučajne veličine 

- Hipergeometrijska ⎪ ⎪ ⎭ 

- Gama ( 0 < x < ∞) 

- Eksponencijalna ( 0 < x < ∞) 

- Beta (obostrano ograničena) 

- Ravnomjerna 

- Rayleigh-eva 

- Cauchy-eva 

- Gumbel-ova (Extremna tip I) 

- Frechet-ova (Extremna tip II) 

- Weibull-ova (Extremna tip III) itd. 

16


U inženjerskoj praksi se često koristi za ekstremna djelovanja na konstrukciju kao slučajne 

veličine Gumbel-ova razdioba : 

s gustoćom : 

gdje je : 

a 

1 π 

σ ⋅ 

6 

= ........................ osipanje 

f 

F 

 

( x) = exp{ − exp[ − a ⋅ ( x − x) 

]} 


 

( x) = a ⋅exp{ − a ⋅( x − x) − exp[ − a ⋅( x − x) 

]} 


 

x 

= x 

− 

c 

a 

.......................... modalna (najčešća) vrijednost 

c = 0.577 ......................... Eulerova konstanta 

Otpornost (nosivost – R) i djelovanje (opterećenje – S) sastoje se, kako je rečeno, iz niza 

utjecaja (baznih varijabli - 

x i ), od kojih svaka za sebe predstavlja slučajnu veličinu, a 

pretpostavljaju se međusobno neovisne. 

17


Prema tome, postavlja se pitanje kako dobiti razdiobu odnosno gustoću (učestalost) ovih 

sumarnih veličina, ako se ona sastoji od niza utjecaja, od kojih svaki ima svoju zakonitost 

slučajne veličine f ( x ,x ,x ,..., ) 

Z = . 

1 2 3 

x 

n 

Kod normalne razdiobe i aditivnog spajanja pojedinačnih utjecaja problem je jednostavniji, jer 

razdioba sumarne veličine, opet daje normalnu (Gauss-ovu) razdiobu. 

Međutim u drugim slučajevima je problem znatno složeniji, jer konačna razdioba ne mora 

uopće slijediti neku poznatu funkciju razdiobe. 

Za praktične potrebe na inženjerskoj razini u tzv. ‘metodi drugog momenta’ možemo se 

zadovoljiti i time da dobijemo samo vrijednosti prvog i drugog momenta (srednja vrijednost Z i 

standardna devijacija 

σ z ) konačne veličine Z . 

Općenito možemo postaviti izraze za ove vrijednosti konačne veličine ( , ) 

postupka za: 

a) aditivno spajanje pojedinačnih utjecaja ( X i 

) 

Z σ na osnovu dva 

z 

b) funkcionalno spajanje pojedinačnih utjecaja ( X i 

) 

18


ad. a) Kod aditivnog spajanja : 

Z = ∑Xi 

....... gdje je bazna varijabla X 

i 

zadana s 

Z X 

+ 

1 

+ X 

2 

+ X3 

+ ... X 

n 

X 

i 

i 

= . (3.12) 

σ 

i 

srednja vrijednost je sumarna veličina : 

a standardna devijacija : 

Pri čemu je koeficijent varijacije jasno: 

n 

1 

+ X2 

+ X3 

+ ... + Xn 

= ∑ Xi 

i= 

1 

Z = X 

, (3.13) 

n 

2 2 2 

2 

2 

σ 

z 

= σ 

1 

+ σ 

2 

+ σ 

3 

+ ... + σ 

n 

= ∑σ 

i 


V 

z 

σ 

z 

Z 

i= 

1 

= (3.15) 

Za slučaj da ispred baznih varijabli u aditivnom spajanju dolaze koeficijenti : 

dobivamo također : 

Z ∑ c X (3.16) 

i i 

= n i= 

1 

Z ∑ c X (3.17) 

i i 

= n i= 

1 

19


i : 

n 

2 2 

σ 

z 

= ∑c σ 


i i 

i= 

1 

ad. b) Kod funkcionalnog spajanja više neovisnih slučajnih veličina (baznih varijabli 

X i ) : 

= g( X ) g( X ,X ,X ,..., X ) 


Z = 

mora se za konačne veličine prvog reda i drugog momenta ( , ) 

rasprostiranja pogreške. 

Možemo uvesti slijedeće oznake : 

E ( Z) 

....... očekivanu srednju vrijednost funkcije g ( ) 

i 

Var ( Z) 

...... varijancu (odgovara kvadratu standardne devijacije od Z) 

1 

2 

3 

X i 

n 

Z σ koristiti zakon proširenog 

z 

∂g 

∂ 

X i 

...... gradijent utjecaja bazne varijable X i 

Ako izraz 3.19 razvijemo u Taylor-ov red dobije se : 

E 

n 

n 2 

∂g 

1 ∂ g 

= 

i ∑ X i i ∑ 2 

i 

∂X 

2 ∂X 

2 

( Z) g( X ) + (X −X ) + (X − X ) + ... 

i= 

1 

i 

i= 

1 

i 

X 

i 

i 

i 

20


Prihvaćanjem samo prva dva člana Taylor-ovog reda uvodimo aproksimaciju - linearizaciju 

jednadžbe graničnog stanja te slijedi : 

E 

n 

∂g 

∂X 

( Z) g( X ) + (X −X 

) 

Var 

= 

i ∑ X i i 


n 

i= 

1 

i 

i 

2 

2 

( Z) = ∑( 

) (X 

X i 

−X i 

) 


i= 

1 

∂g 

∂X 

Sada za bazne varijable Xi možemo pisati veličine drugog momenta : 

i 

i 

i: 

( ) 

Z = g 


X i 

n 

2 

σ = ∑⎜ 

⎟ 

z 

⋅σ 

X Xi 


i= 

1 

⎛ ∂g 

⎜ 

⎝ ∂X 

i 

i 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

2 

21


3.3. Otpornost kao slučajna veličina 

3.3.1. Općenito 

Otpornost neke konstrukcije sastoji se iz otpornosti njenih pojedinih elemenata. Ako 

pretpostavimo, da konstrukcija kao cjelina otkazuje nosivost kada njen najslabiji element 

otkaže nosivost (slučaj lanca), onda možemo u razmatranje uključiti samo taj element. 

U tom slučaju otpornost (nosivost) takvog elementa može ovisiti o: 

- kritičnoj karakterističnoj mehaničkoj osobini materijala (uglavnom je to granica 

tečenja 

σ F ili čvrstoća materijala 

σ B ) kao slučajnoj veličini jedne bazne varijable. 

Npr. vlačni štap idealno konstantnog presjeka A. 

- kritičnom otporu opasnog presjeka tog elementa kao slučajne veličine. Kritični otpor je 

ovisan o više nezavisnih slučajnih promjenjivih veličina – baznih varijabli: granici tečenja ili 

čvrstoći promjenjivim i po samom presjeku, odstupanju geometrijskih veličina presjeka tj. 

dimenzija poprečnog presjeka od normiranih standardom uslijed tolerancije valjanja ili 

pogrešaka u izvedbi kao i uslijed korozije. Npr. nosač napregnut na savijanje bez problema 

stabilnosti. 

22


- kritičnom otporu čitavog elementa u cjelini kao slučajnoj veličini (kritični otpor je ovisan o 

vrlo mnogo nezavisnih slučajnih promjenjivih veličina – baznih varijabli: granici tečenja, 

modulu elastičnosti, toleranciji mjera poprečnog presjeka, inicijalno strukturalnim – (vlastiti 

naponi) i geometrijskim (zakrivljenost i ekscentricitet) imperfekcijama i sl. Npr. tlačni štap. 

Promotrimo sada kakva je pouzdanost otpora ovih elemenata, ako pojedinačne utjecaje 

(bazne varijable) tretiramo kao slučajne veličine. 

3.3.2. Pouzdanost kritične mehaničke osobine materijala 

Ako pouzdanost elementa ovisi samo o jednoj baznoj varijabli npr. mehaničkoj osobini 

materijala kao slučajnoj veličini, onda će pouzdanost elementa iskazana kao vjerojatnost 

otkazivanja nosivosti biti ista kao i pouzdanost mehaničke osobine materijala, uz pretpostavku 

da i djelovanje na konstrukciju (opterećenje) nije slučajna veličina. 

Za primjer ćemo promatrati granicu tečenja čelika kao slučajne veličine. 

Podatke o karakterističnim statističkim vrijednostima prvog i drugog momenta (srednja 

vrijednost i standardna devijacija) možemo uzeti iz prije prikazanih podataka za St.37 (ČN-24) 

dobivenih iz proba ispitivanja kod njemačkih željeznica (DB): 

23


2 

X = 277.8 N/mm 

...................................srednja vrijednost 

2 

σ = 17.8 N/mm 

...............standardna devijacija 

V = 6.405 % 

....................koeficijent varijacije 

Ako znamo da normirana granica tečenja, koju uzimamo u račun kod naših dosadašnjih 

2 

dokaza nosivosti iznosi σ = 240 N / mm , onda možemo pogledati kojoj to fraktili odgovara uz 

F 

pretpostavku da granica tečenja kao slučajna veličina slijedi normalnu (Gauss-ovu) razdiobu: 

x 

= x − k 

x − x 

p 277.8 − 240 

⋅σ ⇒ k 

p 

= = 

2.12 


σ 17.8 

p p 

= 

To znači da normirana vrijednost granice tečenja odstupa na manje od srednje vrijednosti za 

2.12 puta standardne devijacije (odstupanje od 3 puta standardne devijacije smatra se već 

tako malom vrijednosti granice tečenja, tako da praktički ispod te vrijednosti više ne može 

podbaciti niti jedna proba). 

Pogledajmo uz pretpostavku normalne (Gauss-ove) razdiobe koja je vjerojatnost da normirana 

2 

granica tečenja σ = 240 N / mm bude podbačena. 

F 

24


Funkcija gustoće normalne razdiobe: 

f 

( x) 

= 

1 

⋅ e 

2π 

⋅σ 

2 

1⎛ 

x−x 

⎞ 

− ⎜ ⎟ 

2⎝ 

σ ⎠ 


Vjerojatnost podbacivanja neke određene vrijednosti X 0 : 

p = 

X0 

∫ 

−∞ 

1 

⋅ e 

2π 

⋅σ 

2 

1⎛ 

x−x 

⎞ 

− ⎜ ⎟ 

2⎝ 

σ ⎠ 

dx 


Transformacijom u standardni oblik uz 

x − x 

t = i dx σ dt 

σ 

= dobivamo: 

p = 

t 0 1 

1 − t 2 

2 

∫ ⋅ e 

−∞ 2π 

dt 


gdje je: 

0 

t 

0 

x − x 

σ 


2 

Uvrštavanjem za vrijednost x 0 granicu tečenja σ 

F 

= 240 N / mm dobivamo: 

t 0 

240 − 277.8 

= −2.12 

17.8 


i 

p = 

−2.12 

∫ 

−∞ 

1 

⋅ e 

2π 

1 

− t 

2 

2 

dt 

(standardni oblik funkcije gustoće normalne ili Gauss-ove razdiobe). 

25


Ovaj iznos pod integralom nije integrabilan. No možemo iz tablica za Gauss-ovu funkciju 

vjerojatnosti [12] dobiti vrijednost ovog određenog integrala: 

p = 0.0171 ≅ 2% . 

2 

To znači da normirana granica tečenja (za čelik St.37 (ČN-24) σ = 240 N / mm ) stvarno 

odgovara fraktilu od 2% učestalosti, tj. svega najviše 2% ugrađenog čelika u konstrukciju bi 

moglo imati granicu tečenja manju od normirane. 

Možemo postaviti i pitanje kolika je vjerojatnost da granica tečenja bude čak manja od 

2 

dopuštenog napona, koji za čelik St.37 (ČN-24) iznosi =160 N / mm 

U tom slučaju: 

σ . 

dop 

F 

2 

x = , a t 0 

= −6. 

5 

0 

160 N / mm 

160 − 277.8 

= , 

17.8 

a vjerojatnost te pojave 

što daje: 

p = 

− 6.5 

∫ 

−∞ 

1 

⋅ e 

2π 

1 

− t 

2 

2 

dt 

p 

−5 

−10 


Ovo znači, ako smo dimenzionirali vlačni štap iz čelika St.37 (ČN-24) na dopušteni napon 

σ 

dop 

=160 N / mm 

2 

, a ostali čimbenici bilo otpornosti bilo djelovanja na konstrukciju nisu slučajne 

veličine, onda će otkazivanje nosivosti velikim deformacijama uslijed tečenja nastupiti u najviše 

cca jedan puta na deset milijardi štapova. 

3.3.2. Pouzdanost kritičnog otpora presjeka 

Granična nosivost nekog npr. čeličnog štapa odabranog profila i uz odabranu kvalitetu 

materijala za slučaj naprezanja momentom savijanja, aksijalnom (uzdužnom) ili 

transverzalnom (poprečnom) silom (a u svim slučajevima bez mogućnosti pojave instabiliteta) 

određena je iscrpljenjem plastičnih rezervi u opasnom (tzv. kritičnom) presjeku: 

gdje je: 

N 

pl 

σ 

F 

= F ⋅σ 

F; 

M 

pl 

= Wpl 

⋅σ 

F; 

Qpl 

= Fh 

⋅ 


3 

F = 2b ⋅ t + h s ; h − 2t 

s ⋅ 

h s 

= ; W b ⋅ t( h + t) 

pl 

2 

s ⋅ h 

s 

= 

s 

+ ; Fh 

h 

s 

⋅ s 

4 


Za slučaj I-profila s ravnim nožicama (paralelne stranice) nominalne statičke karakteristike 

presjeka i dijagrami napona po visini nosača kod iscrpljenja nosivosti su za pojedine vrste 

djelovanja prikazani na crtežu 3.7. 

27


Crtež 3.7 Dijagram napona u kritičnom presjeku I - profila za pojedine vrste naprezanja 

Kod kombiniranog djelovanja ne mogu se iskoristiti pune plastične nosivosti za pojedine vrste 

naprezanja. 

Kod utvrđivanja granične nosivosti (otpornosti) presjeka štapa treba uzeti u obzir, da osim što 

granica tečenja podliježe nekoj zakonitosti slučajne razdiobe, također i dimenzije presjeka (h, 

b, t, s) podliježu sličnoj zakonitosti (tolerancija valjanja). Daljnja slučajna varijabla može biti i 

variranje granice tečenja u pojedinim točkama istoga presjeka. 

Ako želimo dobiti globalnu nosivost (otpornost) presjeka kao slučajne veličine sve ove 

pojedinačne utjecaje treba uzeti u obzir. 

28


Ovisnost globalne nosivosti o pojedinačnim utjecajima je funkcionalne zakonitosti (povezivanje 

pojedinih baznih varijabli nije aditivno već funkcionalno). 

U tom slučaju ćemo dobiti i statističke parametre globalne otpornosti primjenom funkcionalnog 

postupka spajanja karakterističnih statističkih vrijednosti pojedinih slučajnih veličina. 

Neovisne slučajne veličine kao pojedinačni utjecaji na otpornost presjeka (bazne varijable 

prema crtežu 3.7 su: 

X i ) 

X1 

= σ ..............globalna granica tečenja po čitavom presjeku 

F,gl 

X 2 

= b 

X 

3 

= h s 

.................širina nožice 

................visina hrpta 

X 4 

= t 

..................debljina nožice 

X 5 

= s 

∆σ 

X 6 

σ 

..................debljina hrpta 

F,poj 

= ..........promjena 

F 

F 

σ po širini pojasa 

X 7 

∆σ 

F,h 

= ...........promjena 

F 

σ 

F 

σ po visini hrpta 

29


Prema tome imamo: 

N 

⎡ 

∆σ 

∆σ 

⎞⎤ 

F,poj 

F,h 

pl 

= ⎢2bt 

⎜1 

− h 

s 

s 1 ⎥ ⋅σ 

F,gl 

σ 

⎟ + ⋅ 

⎜ + 

F 

σ 

⎟ 


F 

⎢⎣ 

⎛ 

⎝ 

⎞ 

⎠ 

⎛ 

⎝ 

⎠⎥⎦ 

M 

⎡ 

∆σ 

F,poj 

2 

F,h 

= bt( h + t) ⎜1 

− ⎟ + h ⋅ s⎜ 

+ ⎟ ⋅σ 

F, gl 


pl ⎢ s ⎜ 

s 

1 

σ ⎟ 

F 

4 ⎜ 

⎢⎣ 

⎛ 

⎝ 

⎞ 

⎠ 

1 

⎛ 

⎝ 

∆σ 

σ 

F 

⎞⎤ 

⎟⎥ 

⎠⎥⎦ 

Radi preglednosti uvrstimo oznake s 

X i , pa dobijemo otpornost presjeka kao slučajnu 

varijablu: 

- za aksijalnu silu: Z1 = g1( Xi 

) = [ 2X 

2 

⋅ X 

4 

( 1 − X 

6 

) + X3 

⋅ X5( 1 + X 

7 

)] ⋅ X1 


⎡ 

⎢ 

⎣ 

2 

- za moment savijanja: Z2 = g 

2 

( Xi 

) = X 

2 

⋅ X 

4( X3 

+ X 

4 

)( 1− 

X6 

) + X3 

⋅ X5( 1+ 

X7 

) ⋅ X1 


Kod funkcionalne ovisnosti dobivamo statističke vrijednosti prvog i drugog momenta otpornosti 

presjeka iz izraza: 

( ) 

X i 

1 

4 

Z = g 


n 

2 

σ = ∑⎜ 

⎟ 

z 

⋅σ 

X i 


i 

i= 

1 

⎛ ∂g 

⎜ 

⎝ ∂X 

i 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

2 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

Provedimo sada proračun za valjani profil IPB 300 sa nominalnim vrijednostima: 

30


Tablica 3.1 

2 

F = 149 cm 

W 

el 

= 1680 cm 

W = 1868 cm 

pl 

S = 

x 

934 cm 

3 

Statističke vrijednosti prvog i drugog momenta za bazne varijable (pojedinačni 

utjecaji) 

3 

3 

Za iznalaženje karakterističnih statističkih podataka prvog (srednja vrijednost) i drugog 

(standardna devijacija) momenta globalne veličine (otpornosti presjeka) potrebno je izračunati 

vrijednosti iz izraza: 

- za srednju vrijednost otpornosti kod djelovanja aksijalne sile N pl uz uvrštavanje 

vrijednosti za bazne varijable: 

[ 2X ⋅ X ( 1 − X ) + X ⋅ X ( 1 + X )] ⋅ X 3967 kN 

Z1 2 4 6 3 5 7 1 

= 


31


- za srednju vrijednost otpornosti kod djelovanja momenta savijanja M pl uz 

uvrštavanje vrijednosti za bazne varijable: 

1 2 ⎤ 

( X + X )( 1− 

X ) + X ⋅ X ( 1+ 

X ) X 488.3 kNm 

⎡ 

Z ⎢X2 

⋅ X4 

3 4 

6 

3 5 7 1 

4 

⎥ 

⎣ 

⎦ 

⋅ 


2 

= 

Za standardnu devijaciju otpornosti kod djelovanja aksijalne sile 

N 

pl 

najprije moramo provesti 

parcijalne derivacije funkcije g 1 

( X i 

) po pojedinim varijablama: 

Iz izraza: 

∂g 

∂X 

( 1 − X ) + X X ( 1 + ) 

1 

= 2X 

2X 

4 6 3 5 

X 

7 

1 

∂g 

∂X 

∂g 

∂X 

∂g 

∂X 

∂g 

∂X 

∂g 

∂X 

= 

( 1 − X 

6 

) ⋅ 

1 

1 

2X 

4 

X 

2 

= 

⋅ 

( 1 + X 

7 

) ⋅ 

1 

1 

X5 

X 

3 

( 1 − X 

6 

) ⋅ 

1 

1 

= 2X 

2 

X 

4 

= 

( 1 + X 

7 

) ⋅ 

1 

1 

X3 

X 

5 

1 

= −2X 

2 

⋅ X 

4 

⋅ X1 

6 

∂g 

∂X 

= 

⋅ 

1 

X3 

X5 

X1 

7 

⋅ 








n 

2 

σ = ∑⎜ 

⎟ 

z 

⋅σ 

X i 


i= 

1 

⎛ ∂g 

⎜ 

⎝ ∂X 

i 

i 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

2 

32


dobijemo uvrštavanjem vrijednosti za pojedinačne utjecaje (bazne varijable): 

σ 

z 1 

= 

302 kN 

Za standardnu devijaciju otpornosti kod djelovanja momenta savijanja 

M pl treba najprije 

provjeriti parcijalne derivacije funkcije g ( ) po pojedinim varijablama: 

2 X i 

Iz izraza: 

∂g 

∂X 

∂g 

∂X 

∂g 

∂X 

2 

( X + X )( 1− 

X ) + X ⋅ X ( 1+ 

) 

2 

= X 

2 

⋅ X 

4 3 4 

6 

3 5 

X 

7 

1 

4 

= X 

∂g 

∂X 

⋅ X 

1 

( X3 

+ X 

4 

)( 1− 

X 

6 

) ⋅ 

1 

2 

= X 

4 

X 

2 

⋅ 

( 1 − X 

6 

) ⋅ X1 

+ X3 

⋅ X5( 1 + X 

7 

) ⋅ 

1 

2 

2 4 

X 

3 

4 

2 

( 1 − X 

6 

) ⋅ X1 

+ 2X 

2 

⋅ X 

4 

⋅ ( 1 − X 

6 

) ⋅ 

1 

2 

= X 

2 

⋅ X3 

⋅ 

X 

4 

∂g 

∂X 

∂g 

∂X 

1 

( 1 + X 

7 

) ⋅ 

1 

2 2 

= X3 

⋅ X 

5 

4 

( X3 

+ X 

4 

) ⋅ 

1 

1 

= −X 

2 

⋅ X 

4 

⋅ X 

6 

∂g 

∂X 

1 

1 2 

= X5 

⋅ X3 

⋅ X1 

7 

4 








n 

2 

σ = ∑⎜ 

⎟ 

z 

⋅σ 

X i 


i 

i= 

1 

⎛ ∂g 

⎜ 

⎝ ∂X 

i 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

2 

dobijemo uvrštavanjem vrijednosti za pojedinačne utjecaje (bazne varijable): 

σ 39.45 kNm . 

z 2 

= 

33


Odavde možemo dobiti i koeficijente varijacije za otpornost: 

302 

V 1 

= 0.07606 

3967 

= ............... djeluje samo aksijalna sila ( N ) 

39.45 

V 2 

= 0.08079 

488.3 

= .............. djeluje samo moment savijanja ( M ) 

(Samo uz jednu baznu varijablu 

X1 

= σ dobili bi V 1 , 2 

= 0. 06405 ). 

F 

Na temelju ovih podataka možemo utvrditi i kolika je pouzdanost naših nominalnih vrijednosti 

za 

N 

pl 

i 

M 

pl 

s kojima ulazimo u determinističke proračune. 

2 

Nominalne vrijednosti za IPB 300 i čelik St.37 (ČN-24) za granično stanje = 240 N / mm 

pl 

pl 

σ : 

F 

K 

ZG 1 

= N 

pl 

= F ⋅σ 

F 

= 14900 ⋅ 240 = 3576000 N = 3576 kN 

K 

8 

ZG 2 

= M 

pl 

= Wpl 

⋅σ 

F 

= 2 ⋅ Sx 

⋅σ 

F 

= 2 ⋅ 934000 ⋅ 240 = 4.48 ⋅10 

Nmm = 448 kNm 

2 

Za iskorištenje σ 

max 

= σ 

dop 

= 160 N / mm (ali uz W 

pl 

): 

K 

ZD 1 

= N 

dop 

= F ⋅σ 

dop 

= 14900 ⋅160 

= 2384000 N = 2384 kN 

K 

8 

ZD 2 

= M 

dop 

= Wpl 

⋅σ 

dop 

= 2 ⋅ Sx 

⋅σ 

dop 

= 2 ⋅ 934000 ⋅160 

= 2.99 ⋅10 

Nmm = 299 kNm 

34


Uz pretpostavku normalne razdiobe otpora presjeka kao slučajne veličine dobije se: 

- fraktila za normalnu razdiobu: 

Za 

Za 

Za 

Za 

N 

pl 

i σ 

F 

: 

M 

pl 

i σ 

F 

: 

N 

pl 

i σ 

dop 

: 

M 

pl 

i σ 

dop 

: 

k 

Z − Z 

K 

p 


σ 

z 

− 3967 + 3576 

k 

1 

= 

= −1.295 

⇒ p1 

302 

p 

= 

− 488.3 + 448 

k 

2 

= 

= −1.02 

⇒ p2 

39.45 

p 

= 

k 

k 

− 3967 + 2384 

302 

9.75% 

15.4% 

−7 

p1 

= 

= −5.24 

⇒ p1 

≅10 

− 488.3 + 229 

39.45 

−6 

p2 

= 

= −4.80 

⇒ p2 

≅10 

Prema tome, možemo smatrati uz pretpostavku da opterećenje nije slučajna veličina, a na 

takvo smo opterećenje u determinističkom postupku dimenzionirali naš štap i na graničnu 

2 

nosivost uz nominalnu vrijednost σ = 240 N / mm da će do otkazivanja nosivosti doći cca u 

svakom desetom štapu. 

F 

35


Ako, međutim, štap dimenzioniramo na silu uvećanu koeficijentom sigurnosti odnosno 

dimenzioniramo na dopušteni napon onda će do otkazivanja nosivosti (uz konstantnu silu) doći 

svega u svakom milijuntom odnosno desetmilijuntom štapu. 

Na ovom primjeru očito se vidi kako koeficijent sigurnosti nije nikakva prava mjera za stupanj 

sigurnosti konstrukcije. Jasno, uz pretpostavku da opterećenje nije slučajna veličina, već da 

ima konstantnu vrijednost. Dimenzioniranjem štapa čak i uz koeficijent sigurnosti nešto manji 

od jedan još uvijek bi cca 10% štapova doživilo havariju. A dimenzioniranjem štapa uz 

koeficijent sigurnosti 1.5, u našem slučaju bi toliko povisili sigurnost da tek jedan od milion 

štapova otkazuje nosivost. 

36


3.3.4. Pouzdanost otpornosti čitavog elementa 

Kod tlačnog štapa gdje se javlja i pojava instabiliteta nije moguće njegovu otpornost svesti 

samo na otpornost nekog kritičnog presjeka. Ovdje se za analizu sigurnosti mora obuhvatiti 

element kao cjelinu, jer se samo tako može doći do kritične nosivosti štapa. 

Granična nosivost određenog vitkog industrijskog tlačnog štapa nastupa, kada se kod izvijanja 

savijanjem otvara u nekom kritičnom presjeku plastični zglob. Kod toga veličina sile pri kojoj 

dolazi do ove pojave, ovisi osim o dužini štapova o čitavom nizu pojedinačnih čimbenika 

(baznih varijabli), koji su slučajne veličine. 

Kao takve slučajne veličine - bazne varijable možemo promatrati: 

1) E – modul elastičnosti 

2) površina presjeka 

3) granica tečenja 

4) inicijalna zakrivljenost štapa 

5) vlastiti naponi u štapu 

6) pomak hvatišta sile u smjeru osi x 

7) pomak hvatišta sile u smjeru osi y 

⎫ 

⎬ 

⎭ 

uvjetovano tolerancijama 

37


Pogledajmo na primjeru tlačnog štapa IPE 160 kako izgledaju karakteristične vrijednosti 

osipanja (parametri prvog i drugog momenta) ovih veličina (baznih varijabli) za izvijanje oko 

jače osi. 

Gustoće pojedinih baznih varijabli 

svedene na srednju vrijednost 

E-modul 

E 

y 

s II elastičnosti 

e xey 

E 

x x s I 

F-površina 

y 

E 

s II 

E 

s 

s 

l f o III 

F 

-granica tečenja 

f o 

-inicijalna zakrivljenost 

l 

s -vlastiti naponi 

E 

e x,y -pomak težišne osi 

usljed valjaoničke 

tolerancije 

Crtež 3.8 Krivulje gustoće pojedinih baznih varijabli za tlačni štap 

38


Tablica 3.2 Srednje vrijednosti i standardne devijacije baznih varijabli prema [9] 

Kritična sila izvijanja za odabrani profil funkcija je dužine izvijanja. Ako ovu dužinu podijelimo s 

radijusom inercije profila štapa, dobivamo vitkost štapa 

⎛ li 

⎞ 

⎜λ = ⎟ . 

⎝ i ⎠ 

39


Svakoj vitkosti štapa odgovarat će neki kritični napon (kritična sila podijeljena s površinom 

presjeka). Ovaj kritični napon možemo sada tretirati kao slučajnu veličinu koja je funkcija 

baznih varijabli. 

Prema tome, traži se osipanje (funkcija gustoće) kritičnog napona (za svaku pojedinu vitkost) 

uzevši u obzir plastičnost presjeka na mjestu otvaranja plastičnog zgloba kod otkazivanja 

nosivosti. 

Za tu zadaću nemamo zatvoreno rješenje direktno iz statističkih podataka s baznim 

varijablama jer je to previše složen problem. Biramo indirektni put simulacijom 

eksperimentalnog istraživanja pomoću kompjutora. To je tzv. Monte-Carlo metoda. Za svaku 

pojedinu vitkost izračunava se za čitav niz štapova kritični napon i to tako da se s generatorom 

slučajnih vrijednosti odabiru računske vrijednosti svake pojedine bazne varijable u ovisnosti o 

njenim parametrima i tipu razdiobe. Ovaj račun se tako u kompjutoru ponavlja sto ili tisuću puta 

za svaku pojedinačnu vitkost i tako dobije krivulja gustoće za kritični napon ( σ 

kr 

) kao slučajna 

veličina i mjerni parametri (srednja vrijednost i standardna devijacija). 

40


To je postupak identičan kao kod eksperimentalnog ispitivanja gdje se iz histograma dobivaju 

karakteristične vrijednosti osipanja (parametri: srednja vrijednost i standardna devijacija). 

Crtež 3.9 Histrogram veličine kritičnog napona (σ kr ) za tlačni štap dobiven simulacijom 

eksperimentalnih istraživanja 

Ako sada za sve različite vitkosti ( λ ) nanesemo u isti dijagram svakoj vitkosti odgovarajuće 

srednje vrijednosti ( σ 

kr 

) dobivamo krivulju vrlo sličnu našim dosadašnjim krivuljama σ 

kr 

− λ . U 

isti dijagram možemo nanijeti i vrijednosti za standardne devijacije kao funkcije od λ , odnosno 

krivulje koje od srednje vrijednosti odstupaju više ili manje npr. za dvije standardne devijacije. 

41


s 

kr (N/mm 2 

) 

350 

300 

250 

200 

150 

100 

50 

m + 2 s krivulja 

m - srednja vrijednost 

m - 2 s krivulja 

Europski komitet za normizaciju (CEN) za A-1 i St 37 

krivulja dopuštenih napona prema DIN-u 

40 80 120 160 

l 

Crtež 3.10 Krivulje vitkosti tlačnih štapova 

Iz ovog dijagrama odmah je vidljivo kolika je npr. pouzdanost kritičnih napona σ 

kr 

prema novoj 

Europskoj krivulji. Sve vrijednosti 

σ kr 

europske krivulje manje su od srednje vrijednosti 

umanjene za dvije standardne devijacije kritičnog napona 

σ kr 

promatranog kao slučajne 

veličine. 

42


Ako pretpostavimo da razdiobi kritičnog napona izvijanjem ( σ 

kr 

) kao slučajne veličine za bilo 

koju vitkost slijede normalnu ili Gauss-ovu razdiobu, onda iz podataka navedene krivulje za 

svaku vitkost ( λ ) možemo ocijeniti kolika je pouzdanost npr. nominalne vrijednosti 

našim važećim propisima (rađeni prema krivuljama Europskog komiteta). 

Odaberimo vitkost λ = 75 i profil IPE 160 iz čelika ČN-24 (St37) za izvijanje oko jače osi: 

- nominalna vrijednost σ 

kr, i 

prema našim važećim propisima: 

σ 

kr, i 

prema 

λ = 75 , 

λ 

λ = , 

λ E 

E 

5 

2 

2 

λ 

E 

= π , E = 2.1⋅10 

N / mm , σ 

v 

= 240 N / mm 

σ 

v 

75 = = 0.807 

93,0 

λ iz tablice 0. 829 

Nominalne vrijednosti: 

N = . 

X = σ 

= 

F 

K 

2 

σ 

kr,i 

= N ⋅ 

v 

= 0.829 ⋅ 240 199 N / mm .... nominalna granična vrijednost 

σ 

199 

1.5 

D kr,i 

X 

K 

= = σ 

i,dop 

= = 

ν 

133 N / mm 

2 

kritičnog napona izvijanja 

.... nominalna granična vrijednost za dopušteni 

napon izvijanja 

43


Uz pretpostavku da djelovanje na konstrukciju nije slučajna veličina, već da ima konstantnu 

vrijednost možemo dobiti vjerojatnosti otkazivanja nosivosti za slučaj dimenzioniranja tlačnog 

štapa na graničnu vrijednost tj. uz koeficijent sigurnosti 1.0 kao i uz dimenzioniranje na 

dopušteni napon tj. uz koeficijent sigurnosti 1.5. 

Iz naprijed navedenog dijagrama za kritični napon izvijanja kao slučajne veličine uz λ = 75 

dobivamo: 

2 

X = 259.4 N / mm 

.......................srednja vrijednost 

2 

σ =19.7 N / mm ..........................standardna devijacija 

V = 0.076 

X 

= σ koeficijent varijacije. 

Fraktilu i vjerojatnost otkazivanja nosivosti za normalnu razdiobu uz dimenzioniranje 

koeficijentom sigurnosti ν =1. 0 prema prijedlogu novih propisa za stabilnost štapova: 

F 

F X − X 

k 

− 259.4 + 199 

K 

p 

= = 

= −3.065 

⇒ p ≅10 

σ 19.7 

−3 

. (3.57) 

Fraktilu i vjerojatnost otkazivanja nosivosti za normalnu razdiobu uz dimenzioniranje 

koeficijentom sigurnosti ν =1. 5 prema našim novim propisima za stabilnost štapova: 

D 

D X − X 

k 

− 259.4 + 133 

K 

p 

= = 

= −6.4 

⇒ p ≅ 10 

σ 19.7 

−9 

. (3.58) 

44


Znači da uz pretpostavku da opterećenje ostaje konstantno (nije slučajna veličina) kod 

dimenzioniranja štapa s koeficijentom sigurnosti ν =1. 0 pouzdanost je takva da od cca tisuću 

štapova jedan otkazuje nosivost, a kod dimenzioniranja štapa s koeficijentom sigurnosti ν =1. 5 

pouzdanost je takva da od cca milijardu štapova tek jedan otkazuje nosivost. 

3.3.5. Pouzdanost otpornosti nosivog sustava 

Probabilistički pristup utvrđivanja otkazivanja nosivosti sustava je vrlo složena zadaća. 

Praktički se može riješiti samo uz velika pojednostavljenja i to samo za vrlo jednostavne 

sustave. 

U principu razlikujemo: a) serijske i b) paralelne, nosive sustave. 

a) b) 

45 

Crtež 3.11 Nosivi sustavi: a) serijski ; b) paralelni


Ovaj serijski sustav otkazuje nosivost onda kada otkaže najslabiji element. Kako međutim to 

ne mora značiti da on i prvi otkaže, jer je to samo vjerojatnost, to znači da kod svakog 

može otkazati nosivost, pa se približno (na strani veće sigurnosti) može uzeti da je gornja 

granica vjerojatnosti otkazivanja tog serijskog sustava: 

p 

f ∑( p i 

) 


= n 1 

Takav sustav je već i svaki armirano-betonski element, jer može otkazati kako beton tako 

i čelik, pa bi vjerojatnost njegovog otkazivanja nosivosti bila: 

p 

f 

= p + p − p ⋅ p 


b 

č 

b 

č 

−3 

Ako je npr. vjerojatnost otkazivanja nosivosti za čelik i beton jednaka, tj. p p ≅ 

= , 

b č 

10 

−6 

onda je i p ⋅ p ≅ . U izrazu (3.60) umnožak vjerojatnosti pb 

⋅ pč 

možemo zanemariti 

b č 

10 

pa će pf imati slijedeću vrijednost: 

p 

− 3 

= 2 ⋅10 

− 0 0.002 


f 

= 

ad b) Kod paralelnog odnosno statički neodređenog sustava utvrđivanje nosivosti je vrlo 

složena, i u numeričkom smislu zahtjevna zadaća, crtež 3.12. 

46


σ 

Pretpostavka idealno 

elasto-plasticno ponašanje 

materijala 

Crtež 3.12 Okvirna čelična konstrukcija s idealiziranim σ-ε dijagramom za materijal 

ε 

Sustavu otkazuje nosivost kad se pretvori u kinematski lanac. Međutim postoje tri osnovna 

moguća kinematska lanca, crtež 3.13. 

1) lokalni 2) bočni 3) kombinirani 

Crtež 3.13 Mogući kinematski mehanizmi za okvirnu konstrukciju 

Već utvrđivanje pojedinog slučaja je vrlo složena zadaća. 

47


- Utvrđuje se vjerojatnost pojave pune plastifikacije 

svakog pojedinog mogućeg zgloba na virtualnom 

sustavu. 

- Ubacuje se pravi zglob na mjestu najveće vjerojatnosti 

pojave pune plastifikacije i aktivira Mpl na njemu. 

- Utvrđuje se vjerojatnost pojave pune plastifikacije u 

preostalim mogućim zglobovima. 

- Ubacuje se novi pravi zglob na mjestu najveće 

vjerojatnosti pojave pune plastifikacije i aktivira Mpl. 

- Utvrđuje se vjerojatnost pojave pune plastifikacije na 

preostalom mogućem zglobu (sustav otkazuje 

nosivost). Ta vjerojatnost je i vjerojatnost otkazivanja 

1 

nosivosti sustava p , u ovom slučaju lanac 1. 

f ,s 

Postupak se dalje provodi za slučajeve 2 i 3. 

Ukupna vjerojatnost otkazivanja nosivosti čitavog sustava biti će: 

p p + p + p 

f ,s 


1 

f ,s 

2 

f ,s 

3 

f ,s 

Vidi primjer 3. u poglavlju 8. 

48


3.4. Djelovanje kao slučajna veličina 

3.4.0. 3.4.1. Općenito 

Iako je stalno djelovanje fizikalno determinirano kao gravitacijsko djelovanje, ipak i ono 

podliježe nekim varijacijama težine kako uslijed tolerancije mjera elemenata i specifičnih težina 

materijala, tako i uslijed, u toku vremena, nekih promjena kod eventualnih reparacija ili 

mijenjanja fizikalnih uvjeta (upijanje vlage, sušenje, korozija i sl.). 

Principijelno možemo podijeliti djelovanja na: 

a) stalna djelovanja (izgrađeni ili ugrađeni elementi, pritisak vode, pritisak zemlje i sl.) 

b) promjenjiva djelovanja 

1) geofizikalna: snijeg, vjetar, potres, valovi, temperatura (uvjetovana su slučajem i 

čovjek ne može utjecati na njih) 

2) namjenska: korisno, prometno i sl. (djelovanja nastaju uslijed čovjekove 

djelatnosti, ali slučaj utječe na njihovo nastupanje i intezitet) 

c) udesna djelovanja: potres, požar, eksplozija i sl. 

49


ad a) Neka od stalnih djelovanja imaju gotovo deterministički karakter. Npr. pritisak vode u 

otvorenim rezervoarima i na brane jer su ekstremna djelovanja uvjetovana preljevima. 

U svakom slučaju osipanje veličine ekstremnih djelovanja od stalnog tereta kreću se u 

znatno nižim granicama od promjenjivih djelovanja, tj. nominalne vrijednosti stalnih 

djelovanja su znatno pouzdanije. 

ad b) Sva ova promjenjiva djelovanja podliježu sa stanovišta teorije vjerojatnosti tzv. 

stohastičkoj zakonitosti, tj. tu se radi o slučajnom procesu koji se odvija u vremenu. 

Radi pojednostavljenja naših mjerenja i proračuna u probabilističkom postupku 

utvrđivanja sigurnosti konstrukcija mi činimo dvije osnovne pretpostavke, a koje se 

uglavnom poklapaju sa stvarnim stohastičkim procesima djelovanja naših konstrukcija: 

Prvo – stohastički procesi djelovanja su stacionarni, 

Drugo – stohastički procesi djelovanja su ergodični. 

50


- Stacionaran proces, znači da stohastički proces posjeduje svojstvo invarijantnosti 

vjerojatnosnih osobina u odnosu prema translaciji parametara [12]. 

Međutim, kod građevinskih konstrukcija može doći nekada i do odstupanja ovakve 

postavke u slučaju klimatskih promjena ili npr. uvođenje u promet težih vozila. 

- Ergodičan proces je onaj kod kojega su presjeci stohastičkog skupa jednaki 

korespondirajućim vremenskim procesima uzetim duž bilo kojeg reprezentativnog 

uzorka.Ovo je posebno interesantno kod modeliranja ekstremnih djelovanja na 

objekte. 

Treba napomenuti da su s aspekta sigurnosti konstrukcija promjenjiva djelovanja dominantna, 

te su stoga u knjizi pretežito analizirane slučajne varijable u vremenu (crtež 3.14). 

∆ T1 = ∆T2 

= ∆T3 

= ... = ∆T 

n 

} dugi periodi 

X = = = = 

1 X2 

X3 

... Xn 

t 

σ 

1 = σ2 

= σ3 

= ... = σn 

V = 

1 = V2 

= V3 

= ... Vn 

Crtež 3.14 Djelovanje kao stohastički stacionarni proces 

51


Na jednom objektu provode se mjerenja ekstremnih inteziteta djelovanja u “n” jediničnih 

intervala (npr. jedna godina). Rezultat je ekstremna razdioba f A 

( X) 

. 

Na “n” identičnih objekata mjeri se ostvareni ekstremni intezitet u jednom intervalu (npr. 1 

godina). Rezultat je ekstremna razdioba f B 

( X) 

, crtež 3.15. 

Crtež 3.15 Djelovanje kao stohastički ergodični proces 

52


Ako je stohastički proces ergodičan, onda je : 

A 

( X) = f ( X) ⇒ ( X = X ; = σ ;V V ) 

f = 

B 

A 

B 

σ (3.63) 

Općenito problem iznalaženja razdiobe djelovanja na konstrukciju kompliciran je iz dva 

razloga: 

a) ekstremno djelovanje se sastoji iz kombinacija vremenski koincidiranih pojedinačnih 

djelovanja koja čak ne moraju prouzročiti analogna naprezanja konstrukcije; 

b) razdioba pojedinačnih ekstremnih djelovanja ovisi o odabiru vremenskog intervala u 

kome tražimo ekstremna djelovanja. 

Za problem zamora čak je i postavka problema otkazivanja nosivosti uslijed djelovanja 

drugačija, jer tamo nisu interesantna samo ekstremna djelovanja koja mogu nastupiti u vijeku 

trajanja konstrukcije, već svako ponovljeno djelovanje, bez obzira na intenzitet, doprinosi 

oštećenju konstrukcije. 

A 

B 

A 

B 

53


Za primjer traženja adekvatne razdiobe učestalosti ekstremnih djelovanja može poslužiti 

mjerenje brzine vjetra, koje je mjerodavno za intenzitet pritiska na objekt. Ako mjerimo 

ekstremne vrijednosti brzine vjetra svake minute, onda će se kao najčešća vrijednost pojaviti 

nula. Ako tražimo ekstreme za 10′ onda će već krivulja brzina poprimiti drugi oblik, a ako 

mjerimo ove ekstreme svakih 30′ onda će se vrh krivulje gustoće dalje pomaknuti u desno. 

54


U tablici 3.3 je vidljivo da se razdiobe ekstremnih vrijednosti pomiču prema sve većim 

vrijednostima što uzimamo veći interval. Prema tome, adekvatnu bazu vremenskog 

intervala mjerenja ekstremnih vrijednosti treba odabrati tako da koncept sigurnosti 

bude realan, a osim toga zajednički za sve istraživače, kako bi se rezultati mogli 

uspoređivati. 

55


Danas se smatra da bi minimalni bazni vremenski interval mjerenja ekstremnih vrijednosti 

djelovanja vjetrom trebala biti jedna godina. S druge strane za određivanje dinamičke 

komponente djelovanja vjetra na konstrukcije, vrlo je bitan period vremenskog osrednjavanja 

zapisa brzine vjetra. Mjerodavni su jedino sekundni zapisi [21/177]. Za djelovanja vjetrom i 

snijegom imamo već znatan broj mjernih podataka na temelju kojih se mogu dobiti 

karakteristične vrijednosti osipanja ovih djelovanja. 

Za korisno i prometno djelovanje tih podataka ima malo, ali se danas nastoji simulacijom 

odvijanja prometa u kompjutorima dobiti učestalost ekstremnih eksploatacijskih djelovanja na 

mostovima. 

3.4.2. Djelovanja promjenjiva u vremenu i njihove kombinacije 

Isključivanje parametra vrijeme u teoriji pouzdanosti I reda možda je pojednostavljenje 

problema s prihvatljivim posljedicama. Naime, time se izračunavanje vjerojatnosti, da neka 

slučajna funkcija Z ( t) = g( X( t) 

) izlazi iz sigurnog područja nosivosti, svodi na problem da neki 

vektor slučaja X pada u područje otkazivanja nosivosti. Ovo se svođenje može provesti samo 

ako se pretpostavi stacionaritet slučajne funkcije. 

56


Da bi se utjecaj vremena ipak pravilno obuhvatio treba za veličine, koje su varijante vremena, 

uvesti nove veličine, koje kako je rečeno označuju ekstremne vrijednosti u promatranom 

vremenskom periodu. 

Za neku komponentu od X ( t) 

treba uzimati : 

X 

' 

max( 

X ,t) 

i 

= 

i 


[ 0,T] Prirodno kod toga se mijenjaju statističke karakteristike i postaju one od ekstremne razdiobe 

F(X). Međutim svaki od max [ ] 

( X , t) 

0,T 

i 

može se pojaviti u vijeku trajanja objekta u “n” realizacija. 

Vjerojatnost da se neki događaj A gdje je 

F 

X ≤ x pojavi u “n” realizacija iznosi : 

n 

n 

( X) = P( n − puta A) = P( n − puta X ≤ x) = P ( X ≤ x) F ( x) 


max 

= 

Ako pretpostavimo da naša razdioba maksimalnih intenziteta djelovanja u jediničnim mjernim 

vremenskim periodima F(X) slijedi Gumbelovu razdiobu (dignuta na n-tu potenciju ostaje 

eksponencijalnog tipa), onda se razdioba ekstremnih vrijednosti u vremenu trajanja 

konstrukcije F max 

( X) 

može dobiti kako slijedi: 

57


Osnovna Gumbelova razdioba : 

⎡ 

• 

⎛ ⎞⎤ 

G ( ) = − − 

⎛ 

− 

⎞ 

F 

F exp exp a F F ⎥ (3.66) 

⎦ 

⎢ 

⎣ 

⎜ 

⎝ 

⎜ 

⎝ 

⎟⎟ 

⎠⎠ 

• 

F = F − 

c 

a 

..... najčešća vrijednost 

pri čemu je : 

F ..... srednja vrijednost osnovne razdiobe 

c = 0.577 Eulerova konstanta 

a 

1 

σ 

F 

⋅ π 

6 

= ..... osipanje 

σ 

F 

..... standardna devijacija osnovne razdiobe 

V 

F 

σ 

F 

F 

= ..... koeficijent varijacije osnovne razdiobe 

Neka bude “n” vijek trajanja konstrukcije : 

58


T 

T 

v 

n = 

- v 

F 

T ..... odabrani vremenski period trajanja djelovanja (npr. 30 godina) 

- T F ..... osnovni vremenski interval (u kome je dobivena maksimalna vrijednost 

osnovne razdiobe – obično 1 godina) 

onda je vjerojatnost pojave neke ekstremne veličine u n-godina trajanja konstrukcije određena 

razdiobom : 

Ova razdioba ima : 

G 

⎡ ⎛ 

• 

n 

⎛ 1 ⎞⎞⎤ 

F max 

( Fmax 

) ≅ [ G 

F 

( F) 

] = exp − exp⎜− 

a⎜Fmax 

− F− 

ln n ⎟⎟⎥ (3.67) 

⎦ 

⎢ 

⎣ 

⎝ 

⎝ 

a 

⎠⎠ 

F 

max 

⎛ 

⎞ 

⎜ 

6 

= F 

⎟ 

1 + VF 

⋅ ln n 

⎝ π ⎠ 

..... srednja vrijednost (3.68) 

σ = σ ..... standardna devijacija 

Fmax 

F 

v 

F max 

σ 

= 

F 

Fmax 

max 

= 

⎛ 

F⎜ 

1 + 

⎝ 

σ 

F 

6 ⎞ 

V ⋅ ln n⎟ 

F 

π 

⎠ 

..... koeficijent varijacije (3.69) 

59


Poseban problem međutim predstavlja istovremeno djelovanje različitih opterećenja na 

konstrukciju. Za permanentna ili kvazipermanentna djelovanja (ona koja djeluju dugi vremenski 

period) npr. snijeg može se i pretpostaviti da njihova ekstremna djelovanja nastupaju 

istovremeno. Ali koincidencije djelovanja koje su kratkog trajanja, a obično i rijetko nastupaju 

nemaju veliku vjerojatnost pojave. Utvrđivanje istovremene pojave različitih djelovanja je vrlo 

složena zadaća, pa se rješavanju toga problema pristupa aproksimativnim postupcima. 

Kao najjednostavniji, ali na žalost u pravilu na strani manje sigurnosti, je postupak predložen 

od prof. Turkstra. On polazi od činjenice da ekstremne vrijednosti vremenski promjenjivih i 

stohastičkih neovisnih djelovanja ne nastupaju istovremeno. Međutim u praksi pojava 

ekstremne vrijednosti nekog određenog djelovanja poklapa se s nekom sasvim slučajnom 

vrijednosti ostalih djelovanja. 

60


Crtež 3.17 Stohastička djelovanja i moguće kombinacije istovremenog nastupanja 

61


U prikazanom primjeru na crtežu 3.17 dobivaju se tri različite kombinacije djelovanja. U 

jednadžbi graničnog stanja promatranog slučaja “i” slučajna veličina 

Xi 

zamjenjuje se s 

X 

' 

max 

i 

= . 

( X ,t) 

i 

[ 0,T] Svakoj kombinaciji odgovara druga vjerojatnost otkazivanja nosivosti. Poboljšanje ovog 

postupka 

dobije se ukoliko se ekstremna vrijednost nekog određenog djelovanja ne kombinira s 

istovremenim vrijednostima ostalih djelovanja, nego s “lokalnim” ekstremnim vrijednostima 

drugih djelovanja, koje se javljaju u intervalu jednakom trajanju prvog ekstremnog djelovanja. 

Prema tome potrebno je djelovanja poredati prema broju u periodu [ 0 ,T] 

mogućih ponavljanja 

djelovanja. 

62


Crtež 3.18 Moguće kombinacije djelovanja ovisno o vremenskom intervalu ponavljanja 

Najprije se tvori ekstrem djelovanja s najvećim brojem ponavljanja i to u intervalu konstantne 

amplitude onog djelovanja sa slijedećim nižim brojem ponavljanja. Zatim se tvori ekstrem za 

prvi sljedeći interval ponavljanja itd. 

63

3. Otpornost i djelovanja na konstrukciju: veličine stohastičkog modela

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?