10. loeng Fourier' read.

Fourier’ read 

Funktsioonide ruumid 

Definitsioon (Skalaarkorrutis) 

Skalaarkorrutiseks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale 

kahele vektorile u, v ∈ V seab vastavusse skalaari 〈u, v〉 ∈ R, 

kusjuures on täidetud järgmised tingimused: 

1 ∀u ∈ V 〈u, u〉 0; 〈u, u〉 = 0 ⇔ u = Θ 

2 ∀u, v ∈ V 〈u, v〉 = 〈v, u〉 

3 ∀u, v, w ∈ V 〈u, v + w〉 = 〈u, v〉 + 〈u, w〉 

4 ∀u, v ∈ V , α ∈ R 〈αu, v〉 = 〈u, αv〉 = α〈u, v〉 

Ruumi R n vektorite x = (x 1 , . . . , x n ) ja y = (y 1 , . . . , y n ) skalaarkorrutis 

〈x, y〉 defineeritakse 

〈x, y〉 := x 1 y 1 + . . . + x n y n 

G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 1 / 27



Definitsioon (Skalaarkorrutis) 

Skalaarkorrutiseks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale 

kahele vektorile u, v ∈ V seab vastavusse skalaari 〈u, v〉 ∈ R, 

kusjuures on täidetud järgmised tingimused: 

1 ∀u ∈ V 〈u, u〉 0; 〈u, u〉 = 0 ⇔ u = Θ 

2 ∀u, v ∈ V 〈u, v〉 = 〈v, u〉 

3 ∀u, v, w ∈ V 〈u, v + w〉 = 〈u, v〉 + 〈u, w〉 

4 ∀u, v ∈ V , α ∈ R 〈αu, v〉 = 〈u, αv〉 = α〈u, v〉 

Ruumi R n vektorite x = (x 1 , . . . , x n ) ja y = (y 1 , . . . , y n ) skalaarkorrutis 

〈x, y〉 defineeritakse 

〈x, y〉 := x 1 y 1 + . . . + x n y n 




Definitsioon (Norm) 

Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile u ∈ V 

seab vastavusse skalaari ‖u‖ ∈ R, kusjuures on täidetud järgmised 

tingimused: 

1 ∀u ∈ V ‖u‖ 0; ‖u‖ = 0 ⇔ u = Θ 

2 ∀u ∈ V , α ∈ R ‖αu‖ = |α|‖u‖ 

3 ∀u, v ∈ V ‖u + v‖ ‖u‖ + ‖v‖ 

Kui meil on ruumis V defineeritud skalaarkorrutis, siis võime vektori u 

normi defineerida kujul 

‖u‖ 2 := √ 〈u, u〉 

Seega võime ruumi R n vektori x = (x 1 , . . . , x n ) normi ‖x‖ 2 ehk vektori 

pikkuse defineerida kujul 

|x| := ‖x‖ 2 = √ √ 

〈x, x〉 = x1 2 + . . . + x n 

2 







tingimused: 

1 ∀u ∈ V ‖u‖ 0; ‖u‖ = 0 ⇔ u = Θ 

2 ∀u ∈ V , α ∈ R ‖αu‖ = |α|‖u‖ 

3 ∀u, v ∈ V ‖u + v‖ ‖u‖ + ‖v‖ 



‖u‖ 2 := √ 〈u, u〉 



|x| := ‖x‖ 2 = √ √ 

〈x, x〉 = x1 2 + . . . + x n 

2 







tingimused: 

1 ∀u ∈ V ‖u‖ 0; ‖u‖ = 0 ⇔ u = Θ 

2 ∀u ∈ V , α ∈ R ‖αu‖ = |α|‖u‖ 

3 ∀u, v ∈ V ‖u + v‖ ‖u‖ + ‖v‖ 



‖u‖ 2 := √ 〈u, u〉 



|x| := ‖x‖ 2 = √ √ 

〈x, x〉 = x1 2 + . . . + x n 

2 




Definitsioon (Kaugus) 

Kauguseks ruumis V nimetatakse reeglit, mis igale kahele selle ruumi 

elemendile u, v ∈ V seab vastavusse skalaari d(u, v) ∈ R, kusjuures 

on täidetud järgmised tingimused: 

1 ∀u, v ∈ V d(u, v) 0; d(u, v) = 0 ⇔ v = u 

2 ∀u, v ∈ V d(u, v) = d(v, u) 

3 ∀u, v, w ∈ V d(u, v) d(u, w) + d(w, v) 

Kui meil on ruumis V defineeritud norm, siis võime kahe elemendi 

u, v ∈ V vahelise kauguse defineerida kujul 

d(u, v) := ‖v − u‖ 

Seega on ruumi R n punktide P(x 1 , . . . , x n ) ja Q(y 1 , . . . , y n ) vaheline 

kaugus leitav kujul 

√ 

d(P, Q) = |y − x| = (y 1 − x 1 ) 2 + . . . + (y n − x n ) 2 








1 ∀u, v ∈ V d(u, v) 0; d(u, v) = 0 ⇔ v = u 

2 ∀u, v ∈ V d(u, v) = d(v, u) 




d(u, v) := ‖v − u‖ 



√ 

d(P, Q) = |y − x| = (y 1 − x 1 ) 2 + . . . + (y n − x n ) 2 








1 ∀u, v ∈ V d(u, v) 0; d(u, v) = 0 ⇔ v = u 

2 ∀u, v ∈ V d(u, v) = d(v, u) 




d(u, v) := ‖v − u‖ 



√ 

d(P, Q) = |y − x| = (y 1 − x 1 ) 2 + . . . + (y n − x n ) 2 




Siledate funktsioonide ruum 

Fakti, et funktsioon f (x) on lõigul [a, b] pidev funktsioon. Tähistatakse 

f ∈ C[a, b]. 

Lause 

f ∈ C[a, b] on normeeritud ruum normiga 

Definitsioon 

‖f ‖ ∞ ≡ ‖f ‖ C := sup |f (x)| 

x∈[a,b] 

Öeldakse, et ühe muutuja funktsioon f (x) on r ∈ N korda pidevalt 

diferentseeruv lõigul [a, b], kui f (r) (x) on lõigul [a, b] pidev funktsioon. 

Tähistatakse f ∈ C r [a, b]. 

Kehtib C n [a, b] ⊂ C m [a, b] ⊂ C 0 [a, b] = C[a, b], kui m n. 

‖f ‖ C r 

:= max sup |f (l) (x)| 

0lr x∈[a,b] 




∑ 

Olgu meil funktsionaalrida ∞ u k (x), mille liikmed u k ∈ C[a, b]. 

k=1 

Vaatame osasummat S n (x) = 

n ∑ 

k=1 

u k (x). Kui lõigul [a, b] kaugus 

lim ‖f − S n‖ ∞ = 0, 

n→∞ 

∑ 

siis öeldakse, et funktsionaalrida ∞ u k (x) koondub normi järgi 

k=1 

funktsiooniks f . Vastavalt jada piirväärtuse definitsioonile saame iga 

ε > 0 korral valida N, nii et n N korral 

|f (x) − S n (x)| ‖f − S n ‖ ∞ < ε 

∑ 

Seega funktsionaalrida ∞ u k (x) koondub ühtlaselt lõigul [a, b]. 

k=1 




Integreeruvate funktsioonide ruumid 

Definitsioon 

Olgu p 1 fikseeritud reaalarv, siis lõigul [a, b] määratud funktsioonide 

f , mille norm 

⎛ ⎞ 1 

‖f ‖ p := ⎝ 

∫ b 

a 

|f (t)| p dt⎠ 

on lõplik, hulk moodustab normeeritud ruumi L p [a, b]. 

Lõpliku pikkusega lõigu [a, b] korral, kui p q 1, siis 

C[a, b] ≡ L ∞ [a, b] ⊂ L p [a, b] ⊂ L q [a, b] ⊂ L 1 [a, b] 

p 




Integreeruvate funktsioonide ruumid 

Definitsioon 

Öeldakse, et funktsioon f on integreeruv lõigul [a, b], kui eksisteerib 

b∫ 

b∫ 

määratud integraal f (t)dt või koondub päratu integraal f (t)dt 

Definitsioon 

a 

Öeldakse, et lõigul [a, b] integreeruv funktsioon f on sellel lõigul 

b∫ 

integreeruva ruuduga, kui eksisteerib määratud integraal f 2 (t)dt või 

koondub päratu integraal 

b∫ 

f 2 (t)dt 

a 

a 

a 




Lause 

Kui funktsioonid f (x) ja g(x) on lõigul [a, b] integreeruva ruuduga, siis 

nende korrutis f (x)g(x) on sellel lõigul integreeruv funktsioon. 

Seega omab mõtet skalaarkorrutise definitsioon 

Definitsioon 

Lõigul [a, b] integreeruva ruuduga funktsioonide f (x) ja g(x) 

skalaarkorrutiseks nimetatakse avaldist 

〈f , g〉 := 

∫ b 

a 

f (t)g(t)dt 

Skalaarkorrutisega ruumi nimetatakse Hilberti ruumiks. Seega L 2 [a, b] 

on Hilberti ruum. 




Lõigul [a, b] integreeruva ruuduga funktsioone võib defineerida ka 

kasutades kaalufunktsiooni w(t) 0, t ∈ [a, b]. 

Definitsioon 

Funktsiooni f nimetatakse kaaluga ruutintegreeruvaks lõigul [a, b], kui 

leidub sellel lõigul mittenegatiivne kaalufunktsioon w, nii et 

∫ b 

a 

w(t)f 2 (t)dt < ∞. 

Lõigul [a, b] kaaluga w ruutintegreeruvate funktsioonide ruumi 

tähistame L 2 w[a, b]. 




Lõigul [a, b] kaaluga w ruutintegreeruvate funktsioonide ruumis 

L 2 w[a, b] defineerime skalaarkorrutise, seega saame Hilberti ruumi. 

Definitsioon 

Funktsioonide f (x) ja g(x) ∈ L 2 w[a, b] skalaarkorrutiseks nimetatakse 

avaldist 

〈f , g〉 w 

:= 

∫ b 

a 

w(t)f (t)g(t)dt 

Normi defineerime traditsiooniliselt skalaarkorrutise kaudu 

‖f ‖ 2,w := 

√ 

〈f , f 〉 w 

= 

⎛ 

⎝ 

∫ b 

a 

⎞ 

w(t)f 2 (t)dt⎠ 

1 

2 

. 




L p [a, b] ruumides üldjuhul 

‖f ‖ p = 0 ⇏ f (x) = 0, 

∀x ∈ [a, b], 

kuna integraal funktsioonist, mis erineb nullist lõplikus arvus punktides 

on samuti null. Tegemist on sel juhul rangelt võttes poolnormiga ja 

ruutintegreeruvate funktsioonide ruumi korral ka vastavalt 

poolskalaarkorrutisega. 

Seega L p [a, b] ruumides üldjuhul normi järgi koonduvusest lõigul [a, b] 

ei järeldu punktiviisi koonduvus igas lõigu [a, b] punktis. Olemas on 

ühtlane koonduvus peaaegu kõikjal, st kõikjal välja arvatud lõplikus 

arvus punktides. 


Keskmine koonduvus 



Vaatame normi järgi koonduvust ruumis L 2 [a, b]. 

Definitsioon 

Kui 

lim ‖f − f n‖ 2 = 0, 

n→∞ 

siis ütleme, et jada {f n } koondub lõigul [a, b] keskmiselt funktsiooniks f . 

Definitsioon 

Kui 

lim ‖f − S n‖ 2 = 0, 

n→∞ 

∑ 

kus S n on funktsionaalrea ∞ u k (x) osasumma, siis ütleme, et 

k=1 

∑ 

funktsionaalrida ∞ u k (x) koondub lõigul [a, b] keskmiselt 

funktsiooniks f . 

k=1 




Vaatame normi järgi koonduvust ruumis L 2 [a, b]. 

Lause 

∑ 

Olgu meil funktsionaalrida ∞ u k (x), mille liikmed u k ∈ L 2 [a, b] ning 

k=1 

lim ‖f − S n‖ 2 = 0, 

n→∞ 

kus S n on selle rea osasumma,siis iga g ∈ L 2 [a, b] korral kehtib valem 

∫ x 

a 

f (t)g(t)dt = 

∞∑ 

∫ x 

k=1 a 

u k (t)g(t)dt 

kus paremal pool olev rida koondub muutuja x suhtes ühtlaselt lõigul 

[a, b]. 



Ortogonaalsus Hilberti ruumis 

Ortogonaalsed süsteemid 

Definitsioon 

Süsteem {ϕ k } ∞ k=0 

on ortogonaalne Hilberti ruumis H kui iga j ≠ k 

korral 

〈〉 

ϕk , ϕ j = 0. 

Definitsioon 

Süsteem {ϕ k } ∞ k=0 

on ortonormeeritud Hilberti ruumis H kui 

kus δ k j on Kroneckeri sümbol. 

〈 

ϕk , ϕ j 

〉 

= δk j := 

{ 1, j = k, 

0, j ≠ k. 




Gram-Schmidti ortogonaliseerimisprotsess 

Kui meil on antud süsteem {ψ k } ∞ k=0 

, siis saame ortogonaalse süsteemi 

{ϕ k } ∞ k=0 algoritmiga ϕ 0 = ψ 0 . 

k−1 

∑ 〈〉 

ϕ k = ψ k − ψk , ϕ j ϕj . 

j=0 

Normeeritud elemendid saame, jagades normiga: 

ϕ k 

‖ϕ k ‖ 2 

= 

ϕ k 

√ 

〈ϕk , ϕ k 〉 




Duaalne ortogonaalsus Hilberti ruumis 

Definitsioon 

Süsteemid {ϕ k } ∞ k=0 ja {ψ k} ∞ k=0 

on duaalselt ortogonaalsed Hilberti 

ruumis H kui iga j ≠ k korral 

〈〉 

ϕk , ψ j = 0. 

Definitsioon 

Süsteemid {ϕ k } ∞ k=0 ja {ψ k} ∞ k=0 

on duaalselt ortonormeeritud Hilberti 

ruumis H kui 

{ 

〈〉 1, j = k, 

ϕk , ψ j = δk j := 

0, j ≠ k. 

kus δ k j on Kroneckeri sümbol. 

Seega ortogonaalne süsteem on duaalselt ortogonaalse süsteemi 

erijuht kui kehtib võrdus ψ k = ϕ k iga k = 0, 1, 2, . . . korral. 




Oletame, et funktsionaalrida süsteemi {ϕ k } ∞ k=0 järgi ∑ ∞ 

k=0 c kϕ k 

koondub keskmiselt (normi järgi) funktsiooniks f : 

f (x) = 

∞∑ 

c k ϕ k 

Skalaarkorrutis duaalselt ortogonaalse süsteemi {ψ k } ∞ k=0 elemendiga 

ψ j 

k=0 

〈〉 ∑ 

∞ 〈〉 

f , ψj = c k ϕk , ψ j 

k=0 

〈 

f , ψj 

〉 

= cj 

〈 

ϕj , ψ j 

〉 

〈 

f , ψj 

〉 

c j = 〈〉 

ϕj , ψ j 



Fourier’ rida ortogonaalse süsteemi järgi 

Definitsioon 

Kui süsteem {ϕ k } ∞ k=0 

on ortogonaalne, siis funktsionaalrida 

∞∑ 

k=0 

c k ϕ k 

nimetatakse ortogonaalreaks süsteemi {ϕ k } ∞ k=0 järgi. 

Definitsioon 

Ortogonaalrida ∑ ∞ 

k=0 c kϕ k , mille kordajad on leitud valemi 

c k = 〈f , ϕ k〉 

〈ϕ k , ϕ k 〉 

abil nimetatakse funktsiooni f Fourier’ reaks ja kordajaid c k funktsiooni 

f Fourier’ kordajateks süsteemi {ϕ k } ∞ k=0 järgi. 




Lainekesed 

Analoogiliselt Fourier’ reaga võime vaadata teist tüüpi ortogonaalridu. 

Definitsioon 

Laineke ψ ∈ H on funktsioon, mille korral funktsioonid {ψ j,k } j,k∈Z , kus 

ψ j,k (t) := 2 j/2 ψ(2 j t − k), 

moodustavad ortonormeeritud süsteemi. 

Definitsioon 

Ortogonaalrida 

∑ 

〈 

f , ψj,k 

〉 

ψj,k 

j,k∈Z 

nimetatakse funktsiooni f lainekeste reaksarenduseks süsteemi 

{ψ j,k } j,k∈Z järgi. 


Haari laineke 



Klassikaline laineke on Haari laineke 

⎧ 

0, x < 0 

⎪⎨ 

1, 0 x < 1/2 

ψ(x) := 

−1, 1/2 x < 1 

⎪⎩ 

0, x 1 

Me saame kontrollida, et funktsioonid {ψ j,k } j,k∈Z , kus 

ψ j,k (t) := 2 j/2 ψ(2 j t − k), 

moodustavad ortonormeeritud süsteemi R. 



Besseli võrratus ja Parsevali võrdus 

Vaatame mingit ortogonaalrida ortonoremeeritud süsteemi {ϕ k } ∞ k=0 

järgi ning selle osasummat 

σ n := 

Uurime σ n kaugust funktsioonist f 

k=0 

n∑ 

d k ϕ k . 

k=0 

‖f − σ n ‖ 2 2 = 〈f − σ n, f − σ n 〉 = 〈f , f − σ n 〉 − 〈σ n , f − σ n 〉 = 

〈 

〈 

n∑ 

n∑ 

= 〈f , f 〉−2 〈f , σ n 〉+〈σ n , σ n 〉 = 〈f , f 〉−2 f , d k ϕ k 

〉+ d k ϕ k , 

k=0 

k=0 

n∑ 

n∑ n∑ 〈〉 

= 〈f , f 〉 − 2 d k 〈f , ϕ k 〉 + d j d k ϕk , ϕ j = 

= 〈f , f 〉 − 2 

n∑ 

d k a k + 

k=0 

k=0 j=0 

n∑ 

n∑ 

dk 2 = 〈f , f 〉 + (d k − a k ) 2 − 

k=0 

k=0 

n∑ 

k=0 

〉 

n∑ 

d j ϕ j 

j=0 

a 2 k 




Seega 

n∑ 

‖f − σ n ‖ 2 2 = 〈f , f 〉 + (d k − a k ) 2 − 

n∑ 

k=0 

k=0 

a 2 k 

Lause 

Fourier’ rea osasumma ortonoremeeritud süsteemi {ϕ k } ∞ k=0 järgi 

S n (x) = 

n∑ 

a k ϕ k , a k = 〈f , ϕ k 〉 

k=0 

kujutab endast funktsiooni f parimat keskmist lähendit võrreldes teiste 

sama süsteemi järgi moodustatud ortonormaalridade n-järku 

osasummadega. 




Valides a k = d k , saame seosest 

n∑ 

‖f − S n ‖ 2 2 = 〈f , f 〉 + (a k − a k ) 2 − 

võrratuse 

〈f , f 〉 

n∑ 

k=0 

k=0 

n∑ 

k=0 

Minnes piirile n → ∞ saame Besseli võrratuse 

〈f , f 〉 

∞∑ 

a 2 k 

ak 

2 

k=0 

a 2 k 




Võrdust 

nimetame Parsevali võrduseks 

Lause 

〈f , f 〉 = 

Funktsiooni f Fourier’ rida koondub keskmiselt funktsiooniks f parajasti 

siis kui kehtib Parsevali võrdus 

∞∑ 

k=0 

a 2 k 

Tõepoolest, 

n∑ 

‖f − S n ‖ 2 2 = 〈f , f 〉 − ak 2 . 

k=0 

Definitsioon 

Ortonormaalset süsteemi, mille korral kehtib Parsevali võrdus iga 

Hilberti ruumi elemendi korral nimetatakse täielikuks. 




Lause 

Fourier’ rida saab keskmiselt koonduda ainult üheks funktsiooniks. 

Tõestus. 

Kehtigu vastuväiteliselt mingi ortonormaalse süsteemi {ϕ k } ∞ k=0 korral 

lim ‖f − S n‖ 2 = 0, 

n→∞ 

lim ‖g − S n ‖ 2 = 0 

n→∞ 

Siis 

‖f − g‖ 2 = ‖f − S n + S n − g‖ 2 = ‖(f − S n ) − (g − S n )‖ 2 

‖f − S n ‖ 2 + ‖g − S n ‖ 2 

Minnes piirile n → ∞, saame ‖f − g‖ 2 = 0 




Lause 

Kui funktsioon f on tõkestatud lõigul [−l, l] ja tükiti pidev ning tükiti 

monotoonne sellel lõigul, siis funktsiooni f Fourier rida koondub lõigu 

[−l, l] igas punktis. Seejuures vahemiku (−l, l) igas punktis, milles 

funktsioon f on pidev, koondub rida funktsiooni f väärtuseks ja 

vahemiku igas punktis t, milles funktsioon on katkev, koondub rida 

funktsiooni ühepoolsete piirväärtuste aritmeetiliseks keskmiseks, st 

f (t + 0) + f (t − 0) 

. 

2 

Lõigu otspunktides koondub rida suuruseks 

f (−l + 0) + f (l − 0) 

. 

2 



Fourier’ rida trigonomeetrilise süsteemi järgi 

Fourier’ rida trigonomeetrilise süsteemi järgi 

Funktsioonide süsteem 

{ 1 1 

√ , √ cos πx 

2l l l , 1 √l sin πx 

l , . . . , 1 √l cos kπx 

l 

, 1 √l sin kπx 

l , . . . } 

on täielik ortonormaalne (kaalufunktsiooniga w(t) = 1) süsteem lõigul 

pikkusega 2l. Funktsiooni f Fourier’ rida selle süsteemi järgi on kujul 

kus 

a 0 = 

∫ l 

−l 

f (x) ∼ a 0 

√ 

2l 

+ 

∞∑ 

k=1 

a 

√ k 

cos kπx 

l l 

+ b k 

√ sin kπx 

l l 

∫ 

f (x) 

l 

f (x) 

√ dx, a k = √ cos kπx ∫ l 

2l −l l l dx, b f (x) 

k = √ sin kπx 

−l l l 

dx

10. loeng Fourier' read.

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?