23.11.2014 Views

10. loeng Fourier' read.

10. loeng Fourier' read.

10. loeng Fourier' read.

SHOW MORE
SHOW LESS

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.

Fourier’ <strong>read</strong><br />

Funktsioonide ruumid<br />

Definitsioon (Skalaarkorrutis)<br />

Skalaarkorrutiseks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale<br />

kahele vektorile u, v ∈ V seab vastavusse skalaari 〈u, v〉 ∈ R,<br />

kusjuures on täidetud järgmised tingimused:<br />

1 ∀u ∈ V 〈u, u〉 0; 〈u, u〉 = 0 ⇔ u = Θ<br />

2 ∀u, v ∈ V 〈u, v〉 = 〈v, u〉<br />

3 ∀u, v, w ∈ V 〈u, v + w〉 = 〈u, v〉 + 〈u, w〉<br />

4 ∀u, v ∈ V , α ∈ R 〈αu, v〉 = 〈u, αv〉 = α〈u, v〉<br />

Ruumi R n vektorite x = (x 1 , . . . , x n ) ja y = (y 1 , . . . , y n ) skalaarkorrutis<br />

〈x, y〉 defineeritakse<br />

〈x, y〉 := x 1 y 1 + . . . + x n y n<br />

G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 1 / 27


Fourier’ <strong>read</strong><br />

Funktsioonide ruumid<br />

Definitsioon (Skalaarkorrutis)<br />

Skalaarkorrutiseks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale<br />

kahele vektorile u, v ∈ V seab vastavusse skalaari 〈u, v〉 ∈ R,<br />

kusjuures on täidetud järgmised tingimused:<br />

1 ∀u ∈ V 〈u, u〉 0; 〈u, u〉 = 0 ⇔ u = Θ<br />

2 ∀u, v ∈ V 〈u, v〉 = 〈v, u〉<br />

3 ∀u, v, w ∈ V 〈u, v + w〉 = 〈u, v〉 + 〈u, w〉<br />

4 ∀u, v ∈ V , α ∈ R 〈αu, v〉 = 〈u, αv〉 = α〈u, v〉<br />

Ruumi R n vektorite x = (x 1 , . . . , x n ) ja y = (y 1 , . . . , y n ) skalaarkorrutis<br />

〈x, y〉 defineeritakse<br />

〈x, y〉 := x 1 y 1 + . . . + x n y n<br />

G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 1 / 27


Fourier’ <strong>read</strong><br />

Funktsioonide ruumid<br />

Definitsioon (Norm)<br />

Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile u ∈ V<br />

seab vastavusse skalaari ‖u‖ ∈ R, kusjuures on täidetud järgmised<br />

tingimused:<br />

1 ∀u ∈ V ‖u‖ 0; ‖u‖ = 0 ⇔ u = Θ<br />

2 ∀u ∈ V , α ∈ R ‖αu‖ = |α|‖u‖<br />

3 ∀u, v ∈ V ‖u + v‖ ‖u‖ + ‖v‖<br />

Kui meil on ruumis V defineeritud skalaarkorrutis, siis võime vektori u<br />

normi defineerida kujul<br />

‖u‖ 2 := √ 〈u, u〉<br />

Seega võime ruumi R n vektori x = (x 1 , . . . , x n ) normi ‖x‖ 2 ehk vektori<br />

pikkuse defineerida kujul<br />

|x| := ‖x‖ 2 = √ √<br />

〈x, x〉 = x1 2 + . . . + x n<br />

2<br />

G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 2 / 27


Fourier’ <strong>read</strong><br />

Funktsioonide ruumid<br />

Definitsioon (Norm)<br />

Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile u ∈ V<br />

seab vastavusse skalaari ‖u‖ ∈ R, kusjuures on täidetud järgmised<br />

tingimused:<br />

1 ∀u ∈ V ‖u‖ 0; ‖u‖ = 0 ⇔ u = Θ<br />

2 ∀u ∈ V , α ∈ R ‖αu‖ = |α|‖u‖<br />

3 ∀u, v ∈ V ‖u + v‖ ‖u‖ + ‖v‖<br />

Kui meil on ruumis V defineeritud skalaarkorrutis, siis võime vektori u<br />

normi defineerida kujul<br />

‖u‖ 2 := √ 〈u, u〉<br />

Seega võime ruumi R n vektori x = (x 1 , . . . , x n ) normi ‖x‖ 2 ehk vektori<br />

pikkuse defineerida kujul<br />

|x| := ‖x‖ 2 = √ √<br />

〈x, x〉 = x1 2 + . . . + x n<br />

2<br />

G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 2 / 27


Fourier’ <strong>read</strong><br />

Funktsioonide ruumid<br />

Definitsioon (Norm)<br />

Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile u ∈ V<br />

seab vastavusse skalaari ‖u‖ ∈ R, kusjuures on täidetud järgmised<br />

tingimused:<br />

1 ∀u ∈ V ‖u‖ 0; ‖u‖ = 0 ⇔ u = Θ<br />

2 ∀u ∈ V , α ∈ R ‖αu‖ = |α|‖u‖<br />

3 ∀u, v ∈ V ‖u + v‖ ‖u‖ + ‖v‖<br />

Kui meil on ruumis V defineeritud skalaarkorrutis, siis võime vektori u<br />

normi defineerida kujul<br />

‖u‖ 2 := √ 〈u, u〉<br />

Seega võime ruumi R n vektori x = (x 1 , . . . , x n ) normi ‖x‖ 2 ehk vektori<br />

pikkuse defineerida kujul<br />

|x| := ‖x‖ 2 = √ √<br />

〈x, x〉 = x1 2 + . . . + x n<br />

2<br />

G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 2 / 27


Fourier’ <strong>read</strong><br />

Funktsioonide ruumid<br />

Definitsioon (Kaugus)<br />

Kauguseks ruumis V nimetatakse reeglit, mis igale kahele selle ruumi<br />

elemendile u, v ∈ V seab vastavusse skalaari d(u, v) ∈ R, kusjuures<br />

on täidetud järgmised tingimused:<br />

1 ∀u, v ∈ V d(u, v) 0; d(u, v) = 0 ⇔ v = u<br />

2 ∀u, v ∈ V d(u, v) = d(v, u)<br />

3 ∀u, v, w ∈ V d(u, v) d(u, w) + d(w, v)<br />

Kui meil on ruumis V defineeritud norm, siis võime kahe elemendi<br />

u, v ∈ V vahelise kauguse defineerida kujul<br />

d(u, v) := ‖v − u‖<br />

Seega on ruumi R n punktide P(x 1 , . . . , x n ) ja Q(y 1 , . . . , y n ) vaheline<br />

kaugus leitav kujul<br />

√<br />

d(P, Q) = |y − x| = (y 1 − x 1 ) 2 + . . . + (y n − x n ) 2<br />

G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 3 / 27


Fourier’ <strong>read</strong><br />

Funktsioonide ruumid<br />

Definitsioon (Kaugus)<br />

Kauguseks ruumis V nimetatakse reeglit, mis igale kahele selle ruumi<br />

elemendile u, v ∈ V seab vastavusse skalaari d(u, v) ∈ R, kusjuures<br />

on täidetud järgmised tingimused:<br />

1 ∀u, v ∈ V d(u, v) 0; d(u, v) = 0 ⇔ v = u<br />

2 ∀u, v ∈ V d(u, v) = d(v, u)<br />

3 ∀u, v, w ∈ V d(u, v) d(u, w) + d(w, v)<br />

Kui meil on ruumis V defineeritud norm, siis võime kahe elemendi<br />

u, v ∈ V vahelise kauguse defineerida kujul<br />

d(u, v) := ‖v − u‖<br />

Seega on ruumi R n punktide P(x 1 , . . . , x n ) ja Q(y 1 , . . . , y n ) vaheline<br />

kaugus leitav kujul<br />

√<br />

d(P, Q) = |y − x| = (y 1 − x 1 ) 2 + . . . + (y n − x n ) 2<br />

G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 3 / 27


Fourier’ <strong>read</strong><br />

Funktsioonide ruumid<br />

Definitsioon (Kaugus)<br />

Kauguseks ruumis V nimetatakse reeglit, mis igale kahele selle ruumi<br />

elemendile u, v ∈ V seab vastavusse skalaari d(u, v) ∈ R, kusjuures<br />

on täidetud järgmised tingimused:<br />

1 ∀u, v ∈ V d(u, v) 0; d(u, v) = 0 ⇔ v = u<br />

2 ∀u, v ∈ V d(u, v) = d(v, u)<br />

3 ∀u, v, w ∈ V d(u, v) d(u, w) + d(w, v)<br />

Kui meil on ruumis V defineeritud norm, siis võime kahe elemendi<br />

u, v ∈ V vahelise kauguse defineerida kujul<br />

d(u, v) := ‖v − u‖<br />

Seega on ruumi R n punktide P(x 1 , . . . , x n ) ja Q(y 1 , . . . , y n ) vaheline<br />

kaugus leitav kujul<br />

√<br />

d(P, Q) = |y − x| = (y 1 − x 1 ) 2 + . . . + (y n − x n ) 2<br />

G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 3 / 27


Fourier’ <strong>read</strong><br />

Funktsioonide ruumid<br />

Siledate funktsioonide ruum<br />

Fakti, et funktsioon f (x) on lõigul [a, b] pidev funktsioon. Tähistatakse<br />

f ∈ C[a, b].<br />

Lause<br />

f ∈ C[a, b] on normeeritud ruum normiga<br />

Definitsioon<br />

‖f ‖ ∞ ≡ ‖f ‖ C := sup |f (x)|<br />

x∈[a,b]<br />

Öeldakse, et ühe muutuja funktsioon f (x) on r ∈ N korda pidevalt<br />

diferentseeruv lõigul [a, b], kui f (r) (x) on lõigul [a, b] pidev funktsioon.<br />

Tähistatakse f ∈ C r [a, b].<br />

Kehtib C n [a, b] ⊂ C m [a, b] ⊂ C 0 [a, b] = C[a, b], kui m n.<br />

‖f ‖ C r<br />

:= max sup |f (l) (x)|<br />

0lr x∈[a,b]<br />

G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 4 / 27


Fourier’ <strong>read</strong><br />

Funktsioonide ruumid<br />

∑<br />

Olgu meil funktsionaalrida ∞ u k (x), mille liikmed u k ∈ C[a, b].<br />

k=1<br />

Vaatame osasummat S n (x) =<br />

n ∑<br />

k=1<br />

u k (x). Kui lõigul [a, b] kaugus<br />

lim ‖f − S n‖ ∞ = 0,<br />

n→∞<br />

∑<br />

siis öeldakse, et funktsionaalrida ∞ u k (x) koondub normi järgi<br />

k=1<br />

funktsiooniks f . Vastavalt jada piirväärtuse definitsioonile saame iga<br />

ε > 0 korral valida N, nii et n N korral<br />

|f (x) − S n (x)| ‖f − S n ‖ ∞ < ε<br />

∑<br />

Seega funktsionaalrida ∞ u k (x) koondub ühtlaselt lõigul [a, b].<br />

k=1<br />

G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 5 / 27


Fourier’ <strong>read</strong><br />

Funktsioonide ruumid<br />

Integreeruvate funktsioonide ruumid<br />

Definitsioon<br />

Olgu p 1 fikseeritud reaalarv, siis lõigul [a, b] määratud funktsioonide<br />

f , mille norm<br />

⎛ ⎞ 1<br />

‖f ‖ p := ⎝<br />

∫ b<br />

a<br />

|f (t)| p dt⎠<br />

on lõplik, hulk moodustab normeeritud ruumi L p [a, b].<br />

Lõpliku pikkusega lõigu [a, b] korral, kui p q 1, siis<br />

C[a, b] ≡ L ∞ [a, b] ⊂ L p [a, b] ⊂ L q [a, b] ⊂ L 1 [a, b]<br />

p<br />

G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 6 / 27


Fourier’ <strong>read</strong><br />

Funktsioonide ruumid<br />

Integreeruvate funktsioonide ruumid<br />

Definitsioon<br />

Öeldakse, et funktsioon f on integreeruv lõigul [a, b], kui eksisteerib<br />

b∫<br />

b∫<br />

määratud integraal f (t)dt või koondub päratu integraal f (t)dt<br />

Definitsioon<br />

a<br />

Öeldakse, et lõigul [a, b] integreeruv funktsioon f on sellel lõigul<br />

b∫<br />

integreeruva ruuduga, kui eksisteerib määratud integraal f 2 (t)dt või<br />

koondub päratu integraal<br />

b∫<br />

f 2 (t)dt<br />

a<br />

a<br />

a<br />

G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 7 / 27


Fourier’ <strong>read</strong><br />

Funktsioonide ruumid<br />

Lause<br />

Kui funktsioonid f (x) ja g(x) on lõigul [a, b] integreeruva ruuduga, siis<br />

nende korrutis f (x)g(x) on sellel lõigul integreeruv funktsioon.<br />

Seega omab mõtet skalaarkorrutise definitsioon<br />

Definitsioon<br />

Lõigul [a, b] integreeruva ruuduga funktsioonide f (x) ja g(x)<br />

skalaarkorrutiseks nimetatakse avaldist<br />

〈f , g〉 :=<br />

∫ b<br />

a<br />

f (t)g(t)dt<br />

Skalaarkorrutisega ruumi nimetatakse Hilberti ruumiks. Seega L 2 [a, b]<br />

on Hilberti ruum.<br />

G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 8 / 27


Fourier’ <strong>read</strong><br />

Funktsioonide ruumid<br />

Lõigul [a, b] integreeruva ruuduga funktsioone võib defineerida ka<br />

kasutades kaalufunktsiooni w(t) 0, t ∈ [a, b].<br />

Definitsioon<br />

Funktsiooni f nimetatakse kaaluga ruutintegreeruvaks lõigul [a, b], kui<br />

leidub sellel lõigul mittenegatiivne kaalufunktsioon w, nii et<br />

∫ b<br />

a<br />

w(t)f 2 (t)dt < ∞.<br />

Lõigul [a, b] kaaluga w ruutintegreeruvate funktsioonide ruumi<br />

tähistame L 2 w[a, b].<br />

G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 9 / 27


Fourier’ <strong>read</strong><br />

Funktsioonide ruumid<br />

Lõigul [a, b] kaaluga w ruutintegreeruvate funktsioonide ruumis<br />

L 2 w[a, b] defineerime skalaarkorrutise, seega saame Hilberti ruumi.<br />

Definitsioon<br />

Funktsioonide f (x) ja g(x) ∈ L 2 w[a, b] skalaarkorrutiseks nimetatakse<br />

avaldist<br />

〈f , g〉 w<br />

:=<br />

∫ b<br />

a<br />

w(t)f (t)g(t)dt<br />

Normi defineerime traditsiooniliselt skalaarkorrutise kaudu<br />

‖f ‖ 2,w :=<br />

√<br />

〈f , f 〉 w<br />

=<br />

⎛<br />

⎝<br />

∫ b<br />

a<br />

⎞<br />

w(t)f 2 (t)dt⎠<br />

1<br />

2<br />

.<br />

G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 10 / 27


Fourier’ <strong>read</strong><br />

Funktsioonide ruumid<br />

L p [a, b] ruumides üldjuhul<br />

‖f ‖ p = 0 ⇏ f (x) = 0,<br />

∀x ∈ [a, b],<br />

kuna integraal funktsioonist, mis erineb nullist lõplikus arvus punktides<br />

on samuti null. Tegemist on sel juhul rangelt võttes poolnormiga ja<br />

ruutintegreeruvate funktsioonide ruumi korral ka vastavalt<br />

poolskalaarkorrutisega.<br />

Seega L p [a, b] ruumides üldjuhul normi järgi koonduvusest lõigul [a, b]<br />

ei järeldu punktiviisi koonduvus igas lõigu [a, b] punktis. Olemas on<br />

ühtlane koonduvus peaaegu kõikjal, st kõikjal välja arvatud lõplikus<br />

arvus punktides.<br />

G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 11 / 27


Keskmine koonduvus<br />

Fourier’ <strong>read</strong><br />

Funktsioonide ruumid<br />

Vaatame normi järgi koonduvust ruumis L 2 [a, b].<br />

Definitsioon<br />

Kui<br />

lim ‖f − f n‖ 2 = 0,<br />

n→∞<br />

siis ütleme, et jada {f n } koondub lõigul [a, b] keskmiselt funktsiooniks f .<br />

Definitsioon<br />

Kui<br />

lim ‖f − S n‖ 2 = 0,<br />

n→∞<br />

∑<br />

kus S n on funktsionaalrea ∞ u k (x) osasumma, siis ütleme, et<br />

k=1<br />

∑<br />

funktsionaalrida ∞ u k (x) koondub lõigul [a, b] keskmiselt<br />

funktsiooniks f .<br />

k=1<br />

G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 12 / 27


Fourier’ <strong>read</strong><br />

Funktsioonide ruumid<br />

Vaatame normi järgi koonduvust ruumis L 2 [a, b].<br />

Lause<br />

∑<br />

Olgu meil funktsionaalrida ∞ u k (x), mille liikmed u k ∈ L 2 [a, b] ning<br />

k=1<br />

lim ‖f − S n‖ 2 = 0,<br />

n→∞<br />

kus S n on selle rea osasumma,siis iga g ∈ L 2 [a, b] korral kehtib valem<br />

∫ x<br />

a<br />

f (t)g(t)dt =<br />

∞∑<br />

∫ x<br />

k=1 a<br />

u k (t)g(t)dt<br />

kus paremal pool olev rida koondub muutuja x suhtes ühtlaselt lõigul<br />

[a, b].<br />

G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 13 / 27


Fourier’ <strong>read</strong><br />

Ortogonaalsus Hilberti ruumis<br />

Ortogonaalsed süsteemid<br />

Definitsioon<br />

Süsteem {ϕ k } ∞ k=0<br />

on ortogonaalne Hilberti ruumis H kui iga j ≠ k<br />

korral<br />

〈 〉<br />

ϕk , ϕ j = 0.<br />

Definitsioon<br />

Süsteem {ϕ k } ∞ k=0<br />

on ortonormeeritud Hilberti ruumis H kui<br />

kus δ k j on Kroneckeri sümbol.<br />

〈<br />

ϕk , ϕ j<br />

〉<br />

= δk j :=<br />

{ 1, j = k,<br />

0, j ≠ k.<br />

G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 14 / 27


Fourier’ <strong>read</strong><br />

Ortogonaalsed süsteemid<br />

Gram-Schmidti ortogonaliseerimisprotsess<br />

Kui meil on antud süsteem {ψ k } ∞ k=0<br />

, siis saame ortogonaalse süsteemi<br />

{ϕ k } ∞ k=0 algoritmiga ϕ 0 = ψ 0 .<br />

k−1<br />

∑ 〈 〉<br />

ϕ k = ψ k − ψk , ϕ j ϕj .<br />

j=0<br />

Normeeritud elemendid saame, jagades normiga:<br />

ϕ k<br />

‖ϕ k ‖ 2<br />

=<br />

ϕ k<br />

√<br />

〈ϕk , ϕ k 〉<br />

G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 15 / 27


Fourier’ <strong>read</strong><br />

Ortogonaalsed süsteemid<br />

Duaalne ortogonaalsus Hilberti ruumis<br />

Definitsioon<br />

Süsteemid {ϕ k } ∞ k=0 ja {ψ k} ∞ k=0<br />

on duaalselt ortogonaalsed Hilberti<br />

ruumis H kui iga j ≠ k korral<br />

〈 〉<br />

ϕk , ψ j = 0.<br />

Definitsioon<br />

Süsteemid {ϕ k } ∞ k=0 ja {ψ k} ∞ k=0<br />

on duaalselt ortonormeeritud Hilberti<br />

ruumis H kui<br />

{<br />

〈 〉 1, j = k,<br />

ϕk , ψ j = δk j :=<br />

0, j ≠ k.<br />

kus δ k j on Kroneckeri sümbol.<br />

Seega ortogonaalne süsteem on duaalselt ortogonaalse süsteemi<br />

erijuht kui kehtib võrdus ψ k = ϕ k iga k = 0, 1, 2, . . . korral.<br />

G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 16 / 27


Fourier’ <strong>read</strong><br />

Ortogonaalsed süsteemid<br />

Oletame, et funktsionaalrida süsteemi {ϕ k } ∞ k=0 järgi ∑ ∞<br />

k=0 c kϕ k<br />

koondub keskmiselt (normi järgi) funktsiooniks f :<br />

f (x) =<br />

∞∑<br />

c k ϕ k<br />

Skalaarkorrutis duaalselt ortogonaalse süsteemi {ψ k } ∞ k=0 elemendiga<br />

ψ j<br />

k=0<br />

〈 〉 ∑<br />

∞ 〈 〉<br />

f , ψj = c k ϕk , ψ j<br />

k=0<br />

〈<br />

f , ψj<br />

〉<br />

= cj<br />

〈<br />

ϕj , ψ j<br />

〉<br />

〈<br />

f , ψj<br />

〉<br />

c j = 〈 〉<br />

ϕj , ψ j<br />

G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 17 / 27


Fourier’ <strong>read</strong><br />

Fourier’ rida ortogonaalse süsteemi järgi<br />

Definitsioon<br />

Kui süsteem {ϕ k } ∞ k=0<br />

on ortogonaalne, siis funktsionaalrida<br />

∞∑<br />

k=0<br />

c k ϕ k<br />

nimetatakse ortogonaalreaks süsteemi {ϕ k } ∞ k=0 järgi.<br />

Definitsioon<br />

Ortogonaalrida ∑ ∞<br />

k=0 c kϕ k , mille kordajad on leitud valemi<br />

c k = 〈f , ϕ k〉<br />

〈ϕ k , ϕ k 〉<br />

abil nimetatakse funktsiooni f Fourier’ reaks ja kordajaid c k funktsiooni<br />

f Fourier’ kordajateks süsteemi {ϕ k } ∞ k=0 järgi.<br />

G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 18 / 27


Fourier’ <strong>read</strong><br />

Fourier’ rida ortogonaalse süsteemi järgi<br />

Lainekesed<br />

Analoogiliselt Fourier’ reaga võime vaadata teist tüüpi ortogonaalridu.<br />

Definitsioon<br />

Laineke ψ ∈ H on funktsioon, mille korral funktsioonid {ψ j,k } j,k∈Z , kus<br />

ψ j,k (t) := 2 j/2 ψ(2 j t − k),<br />

moodustavad ortonormeeritud süsteemi.<br />

Definitsioon<br />

Ortogonaalrida<br />

∑<br />

〈<br />

f , ψj,k<br />

〉<br />

ψj,k<br />

j,k∈Z<br />

nimetatakse funktsiooni f lainekeste reaksarenduseks süsteemi<br />

{ψ j,k } j,k∈Z järgi.<br />

G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 19 / 27


Haari laineke<br />

Fourier’ <strong>read</strong><br />

Fourier’ rida ortogonaalse süsteemi järgi<br />

Klassikaline laineke on Haari laineke<br />

⎧<br />

0, x < 0<br />

⎪⎨<br />

1, 0 x < 1/2<br />

ψ(x) :=<br />

−1, 1/2 x < 1<br />

⎪⎩<br />

0, x 1<br />

Me saame kontrollida, et funktsioonid {ψ j,k } j,k∈Z , kus<br />

ψ j,k (t) := 2 j/2 ψ(2 j t − k),<br />

moodustavad ortonormeeritud süsteemi R.<br />

G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 20 / 27


Fourier’ <strong>read</strong><br />

Besseli võrratus ja Parsevali võrdus<br />

Vaatame mingit ortogonaalrida ortonoremeeritud süsteemi {ϕ k } ∞ k=0<br />

järgi ning selle osasummat<br />

σ n :=<br />

Uurime σ n kaugust funktsioonist f<br />

k=0<br />

n∑<br />

d k ϕ k .<br />

k=0<br />

‖f − σ n ‖ 2 2 = 〈f − σ n, f − σ n 〉 = 〈f , f − σ n 〉 − 〈σ n , f − σ n 〉 =<br />

〈<br />

〈<br />

n∑<br />

n∑<br />

= 〈f , f 〉−2 〈f , σ n 〉+〈σ n , σ n 〉 = 〈f , f 〉−2 f , d k ϕ k<br />

〉+ d k ϕ k ,<br />

k=0<br />

k=0<br />

n∑<br />

n∑ n∑ 〈 〉<br />

= 〈f , f 〉 − 2 d k 〈f , ϕ k 〉 + d j d k ϕk , ϕ j =<br />

= 〈f , f 〉 − 2<br />

n∑<br />

d k a k +<br />

k=0<br />

k=0 j=0<br />

n∑<br />

n∑<br />

dk 2 = 〈f , f 〉 + (d k − a k ) 2 −<br />

k=0<br />

k=0<br />

n∑<br />

k=0<br />

〉<br />

n∑<br />

d j ϕ j<br />

j=0<br />

a 2 k<br />

G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 21 / 27


Fourier’ <strong>read</strong><br />

Besseli võrratus ja Parsevali võrdus<br />

Seega<br />

n∑<br />

‖f − σ n ‖ 2 2 = 〈f , f 〉 + (d k − a k ) 2 −<br />

n∑<br />

k=0<br />

k=0<br />

a 2 k<br />

Lause<br />

Fourier’ rea osasumma ortonoremeeritud süsteemi {ϕ k } ∞ k=0 järgi<br />

S n (x) =<br />

n∑<br />

a k ϕ k , a k = 〈f , ϕ k 〉<br />

k=0<br />

kujutab endast funktsiooni f parimat keskmist lähendit võrreldes teiste<br />

sama süsteemi järgi moodustatud ortonormaalridade n-järku<br />

osasummadega.<br />

G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 22 / 27


Fourier’ <strong>read</strong><br />

Besseli võrratus ja Parsevali võrdus<br />

Valides a k = d k , saame seosest<br />

n∑<br />

‖f − S n ‖ 2 2 = 〈f , f 〉 + (a k − a k ) 2 −<br />

võrratuse<br />

〈f , f 〉 <br />

n∑<br />

k=0<br />

k=0<br />

n∑<br />

k=0<br />

Minnes piirile n → ∞ saame Besseli võrratuse<br />

〈f , f 〉 <br />

∞∑<br />

a 2 k<br />

ak<br />

2<br />

k=0<br />

a 2 k<br />

G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 23 / 27


Fourier’ <strong>read</strong><br />

Besseli võrratus ja Parsevali võrdus<br />

Võrdust<br />

nimetame Parsevali võrduseks<br />

Lause<br />

〈f , f 〉 =<br />

Funktsiooni f Fourier’ rida koondub keskmiselt funktsiooniks f parajasti<br />

siis kui kehtib Parsevali võrdus<br />

∞∑<br />

k=0<br />

a 2 k<br />

Tõepoolest,<br />

n∑<br />

‖f − S n ‖ 2 2 = 〈f , f 〉 − ak 2 .<br />

k=0<br />

Definitsioon<br />

Ortonormaalset süsteemi, mille korral kehtib Parsevali võrdus iga<br />

Hilberti ruumi elemendi korral nimetatakse täielikuks.<br />

G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 24 / 27


Fourier’ <strong>read</strong><br />

Besseli võrratus ja Parsevali võrdus<br />

Lause<br />

Fourier’ rida saab keskmiselt koonduda ainult üheks funktsiooniks.<br />

Tõestus.<br />

Kehtigu vastuväiteliselt mingi ortonormaalse süsteemi {ϕ k } ∞ k=0 korral<br />

lim ‖f − S n‖ 2 = 0,<br />

n→∞<br />

lim ‖g − S n ‖ 2 = 0<br />

n→∞<br />

Siis<br />

‖f − g‖ 2 = ‖f − S n + S n − g‖ 2 = ‖(f − S n ) − (g − S n )‖ 2 <br />

‖f − S n ‖ 2 + ‖g − S n ‖ 2<br />

Minnes piirile n → ∞, saame ‖f − g‖ 2 = 0<br />

G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 25 / 27


Fourier’ <strong>read</strong><br />

Besseli võrratus ja Parsevali võrdus<br />

Lause<br />

Kui funktsioon f on tõkestatud lõigul [−l, l] ja tükiti pidev ning tükiti<br />

monotoonne sellel lõigul, siis funktsiooni f Fourier rida koondub lõigu<br />

[−l, l] igas punktis. Seejuures vahemiku (−l, l) igas punktis, milles<br />

funktsioon f on pidev, koondub rida funktsiooni f väärtuseks ja<br />

vahemiku igas punktis t, milles funktsioon on katkev, koondub rida<br />

funktsiooni ühepoolsete piirväärtuste aritmeetiliseks keskmiseks, st<br />

f (t + 0) + f (t − 0)<br />

.<br />

2<br />

Lõigu otspunktides koondub rida suuruseks<br />

f (−l + 0) + f (l − 0)<br />

.<br />

2<br />

G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 26 / 27


Fourier’ <strong>read</strong><br />

Fourier’ rida trigonomeetrilise süsteemi järgi<br />

Fourier’ rida trigonomeetrilise süsteemi järgi<br />

Funktsioonide süsteem<br />

{ 1 1<br />

√ , √ cos πx<br />

2l l l , 1 √l sin πx<br />

l , . . . , 1 √l cos kπx<br />

l<br />

, 1 √l sin kπx<br />

l , . . . }<br />

on täielik ortonormaalne (kaalufunktsiooniga w(t) = 1) süsteem lõigul<br />

pikkusega 2l. Funktsiooni f Fourier’ rida selle süsteemi järgi on kujul<br />

kus<br />

a 0 =<br />

∫ l<br />

−l<br />

f (x) ∼ a 0<br />

√<br />

2l<br />

+<br />

∞∑<br />

k=1<br />

a<br />

√ k<br />

cos kπx<br />

l l<br />

+ b k<br />

√ sin kπx<br />

l l<br />

∫<br />

f (x)<br />

l<br />

f (x)<br />

√ dx, a k = √ cos kπx ∫ l<br />

2l −l l l dx, b f (x)<br />

k = √ sin kπx<br />

−l l l<br />

dx<br />

G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 27 / 27

Hooray! Your file is uploaded and ready to be published.

Saved successfully!

Ooh no, something went wrong!